📈 Limit Özellikleri
Limit, bir fonksiyonun belirli bir noktaya yaklaşırken aldığı değeri ifade eder. Limitin bazı temel özellikleri vardır ve bu özellikler limit hesaplamalarını oldukça kolaylaştırır.
🎯 Temel Limit Kuralları
Aşağıdaki kurallar, limx→a f(x) = L ve limx→a g(x) = M olduğu durumlar için geçerlidir (L ve M birer gerçek sayıdır).
- ✅ Toplam Kuralı: İki fonksiyonun toplamının limiti, limitlerinin toplamına eşittir.
\( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = L + M \)
- ✅ Fark Kuralı: İki fonksiyonun farkının limiti, limitlerinin farkına eşittir.
\( \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) = L - M \)
- ✅ Sabit Çarpım Kuralı: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının limiti, limitin o sabitle çarpımına eşittir (c ∈ ℝ).
\( \lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = cL \)
- ✅ Çarpım Kuralı: İki fonksiyonun çarpımının limiti, limitlerinin çarpımına eşittir.
\( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = L \cdot M \)
- ✅ Bölüm Kuralı: İki fonksiyonun bölümünün limiti, limitlerinin bölümüne eşittir (M ≠ 0 olmak şartıyla).
\( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{L}{M} \)
- ✅ Kuvvet Kuralı: Bir fonksiyonun n. kuvvetinin limiti, limitinin n. kuvvetine eşittir (n ∈ ℤ⁺).
\( \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n = L^n \)
- ✅ Kök Kuralı: Bir fonksiyonun n. dereceden kökünün limiti, limitinin n. dereceden köküne eşittir (n ∈ ℤ⁺ ve L > 0 ise n çift).
\( \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} = \sqrt[n]{L} \)
💡 Özel Durumlar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
- 📌 Eğer limx→a f(x) mevcut değilse, bu özellikleri kullanamayız.
- 📌 Bölüm kuralını uygularken, paydanın limitinin 0 olmamasına dikkat etmeliyiz. Eğer paydanın limiti 0 ise, farklı yöntemler (sadeleştirme, eşlenik ile çarpma vb.) kullanmamız gerekebilir.
- 📌 Bir sabitin limiti, sabitin kendisine eşittir: \( \lim_{x \to a} c = c \)
- 📌 x'in limiti, a'ya eşittir: \( \lim_{x \to a} x = a \)
🧮 Örnek Uygulama
Aşağıdaki limiti, limit özelliklerini kullanarak hesaplayalım:
\( \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) \)
- ➡️ Önce toplam/fark kuralını uygulayarak limiti parçalara ayıralım:
\( = \lim_{x \to 3} (2x^2) - \lim_{x \to 3} (5x) + \lim_{x \to 3} (1) \)
- ➡️ Sabit çarpım kuralını uygulayalım:
\( = 2 \cdot \lim_{x \to 3} (x^2) - 5 \cdot \lim_{x \to 3} (x) + \lim_{x \to 3} (1) \)
- ➡️ Kuvvet kuralı ve temel limitleri yerine koyalım:
\( = 2 \cdot (3)^2 - 5 \cdot (3) + 1 \)
- ➡️ Sonucu hesaplayalım:
\( = 2 \cdot 9 - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4 \)
Bu örnekte görüldüğü gibi, limit özellikleri karmaşık görünen ifadelerin limitlerini adım adım ve kolayca hesaplamamızı sağlar. 🎉
