KPSS Modüler Aritmetik Test 1

2^2023 sayısının 10'a bölümünden kalan kaçtır?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 0

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün $2^{2023}$ sayısının $10$'a bölümünden kalanı nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, üslü sayıların son basamağını bulma mantığına dayanır ve oldukça eğlencelidir.

• Adım 1: 10'a Bölümünden Kalanı Anlamak

  Bir sayının $10$'a bölümünden kalan, o sayının birler basamağıdır. Örneğin, $123$ sayısının $10$'a bölümünden kalan $3$'tür. Bu durumda, $2^{2023}$ sayısının $10$'a bölümünden kalanı bulmak için, bu sayının birler basamağını bulmamız yeterlidir.

• Adım 2: $2$'nin Kuvvetlerinin Birler Basamağındaki Örüntüyü İncelemek

  Şimdi $2$'nin ilk birkaç kuvvetinin birler basamağına bakalım:

  • $2^1 = 2$ (Birler basamağı: $2$)
  • $2^2 = 4$ (Birler basamağı: $4$)
  • $2^3 = 8$ (Birler basamağı: $8$)
  • $2^4 = 16$ (Birler basamağı: $6$)
  • $2^5 = 32$ (Birler basamağı: $2$)
  • $2^6 = 64$ (Birler basamağı: $4$)

  Gördüğünüz gibi, birler basamakları $2, 4, 8, 6$ şeklinde bir döngü oluşturuyor ve bu döngü her $4$ adımda bir tekrar ediyor. Bu döngünün uzunluğu $4$'tür.

• Adım 3: Üs (Kuvvet) ile Döngü Uzunluğunu İlişkilendirmek

  Üssümüz $2023$. Bu üssün, $4$ birimlik döngüde nereye denk geldiğini bulmak için $2023$'ü döngü uzunluğu olan $4$'e bölmemiz gerekir. Bölümden elde ettiğimiz kalan, döngüdeki hangi sıradaki sayıyı alacağımızı gösterecektir.

  $2023 \div 4$ işlemini yapalım:

  $2023 = 4 \times 505 + 3$

  Bu işlemden kalan $3$'tür.

• Adım 4: Kalanı Kullanarak Birler Basamağını Bulmak

  Kalan $3$ olduğu için, $2$'nin kuvvetlerinin birler basamağı örüntüsündeki $3$. sıradaki sayıyı almalıyız:

  • $1.$ sıra: $2$
  • $2.$ sıra: $4$
  • $3.$ sıra: $8$
  • $4.$ sıra: $6$

  Kalan $3$ olduğu için, $2^{2023}$ sayısının birler basamağı $8$'dir.

• Adım 5: Sonucu Belirlemek

  $2^{2023}$ sayısının birler basamağı $8$ olduğuna göre, bu sayının $10$'a bölümünden kalan da $8$'dir.

Cevap D seçeneğidir.