KPSS Modüler Aritmetik Test 1

Bir sayının 15'e bölümünden kalan 8 ise, bu sayının 3'e bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Sevgili öğrenciler, bu tür soruları çözmek için bölme işleminin temel özelliklerini ve kalan kavramını iyi anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Sayıyı Matematiksel Olarak İfade Etme:

  Bir sayının 15'e bölümünden kalan 8 ise, bu sayıyı $N$ olarak adlandıralım. Bölme algoritmasına göre, $N$ sayısı şu şekilde ifade edilebilir:

  $N = 15 \times k + 8$

  Burada $k$ bir tam sayıdır (bölüm).

• 2. Sayının 3'e Bölümünden Kalanı Bulma Amacı:

  Bizden istenen, bu $N$ sayısının 3'e bölümünden kalanı bulmaktır. Bunun için $N = 15k + 8$ ifadesini 3'e göre incelememiz gerekiyor.

• 3. İfadenin İlk Kısmını İnceleme ($15k$):

  İfadenin ilk kısmı $15k$'dir. 15 sayısı, 3'ün bir katıdır ($15 = 3 \times 5$). Bu durumda, $15k$ ifadesi de her zaman 3'ün bir katı olacaktır:

  $15k = (3 \times 5) \times k = 3 \times (5k)$

  Bu demektir ki, $15k$ sayısının 3'e bölümünden kalan her zaman 0'dır. Yani, $15k \equiv 0 \pmod{3}$.

• 4. İfadenin İkinci Kısmını İnceleme ($8$):

  Şimdi ifadenin ikinci kısmı olan 8 sayısını 3'e bölelim:

  $8 = 3 \times 2 + 2$

  Gördüğümüz gibi, 8 sayısının 3'e bölümünden kalan 2'dir. Yani, $8 \equiv 2 \pmod{3}$.

• 5. Kalanları Birleştirme:

  Şimdi $N = 15k + 8$ ifadesindeki her bir terimin 3'e bölümünden kalanları toplayabiliriz. Bir sayının toplamının bir sayıya bölümünden kalanı, o sayıların ayrı ayrı bölümlerinden kalanların toplamının o sayıya bölümünden kalanıdır.

  Kalan($N \div 3$) = Kalan($15k \div 3$) + Kalan($8 \div 3$)

  Kalan($N \div 3$) = $0 + 2$

  Kalan($N \div 3$) = $2$

  Bu durumda, $N$ sayısının 3'e bölümünden kalan 2'dir.

Cevap C seçeneğidir.