Birim çemberde $\theta$ açısı için $\tan\theta = \sqrt{3}$ ve $\sin\theta < 0$ olduğuna göre, $\theta$ açısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 60°Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim:
Adım 1: $\tan\theta = \sqrt{3}$ koşulunu inceleyelim.
Öncelikle, tanjant değeri $\sqrt{3}$ olan dar açıyı bulalım. Biz biliyoruz ki $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$'tür. Bu $60^\circ$ açısı bizim referans açımızdır.
Tanjant fonksiyonu, birim çemberde I. ve III. bölgelerde pozitif değerler alır. Bu durumda, $\theta$ açısı ya I. bölgede ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) ya da III. bölgede ($180^\circ < \theta < 270^\circ$) olabilir.
Adım 2: $\sin\theta < 0$ koşulunu inceleyelim.
Sinüs fonksiyonu, birim çemberde III. ve IV. bölgelerde negatif değerler alır. Yani $\theta$ açısı ya III. bölgede ($180^\circ < \theta < 270^\circ$) ya da IV. bölgede ($270^\circ < \theta < 360^\circ$) olabilir.
Adım 3: Her iki koşulu da sağlayan bölgeyi belirleyelim.
Şimdi her iki koşulu da aynı anda sağlayan bölgeyi bulmalıyız:
$\tan\theta > 0$ koşulu $\theta$'nın I. veya III. bölgede olduğunu söyler.
$\sin\theta < 0$ koşulu $\theta$'nın III. veya IV. bölgede olduğunu söyler.
Bu iki koşulun ortak olarak sağlandığı tek bölge III. bölgedir.
Adım 4: $\theta$ açısının değerini hesaplayalım.
Referans açımız $60^\circ$ idi ve açımız III. bölgede olmalı. III. bölgedeki bir açıyı bulmak için $180^\circ$'ye referans açıyı ekleriz.
Yani, $\theta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$ olur.
Adım 5: Seçenekleri kontrol edelim.
Bulduğumuz $\theta = 240^\circ$ değeri seçeneklerde mevcuttur. Seçenekleri tek tek kontrol edelim:
A) $60^\circ$: I. bölgededir. $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ (doğru), ancak $\sin 60^\circ > 0$ (yanlış).
B) $120^\circ$: II. bölgededir. $\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$ (yanlış).
C) $240^\circ$: III. bölgededir. $\tan 240^\circ = \tan(180^\circ + 60^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ (doğru). $\sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (doğru).
D) $300^\circ$: IV. bölgededir. $\tan 300^\circ = -\sqrt{3}$ (yanlış).
Tüm koşulları sağlayan tek seçenek $240^\circ$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
