Bölüm şeklindeki eşitsizliklerin çözümü Test 1

(2x+6)/(x-4) < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının sayısı kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, rasyonel bir eşitsizliği nasıl çözeceğimizi ve bu eşitsizliği sağlayan tam sayıları nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Eşitsizlik soruları, matematiksel düşünme becerilerinizi geliştirmek için harika bir yoldur. Hazırsanız, sorumuza geçelim!

Sorumuz: $(2x+6)/(x-4) < 0$ eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayılarının sayısı kaçtır?

• Adım 1: Kritik Noktaları Bulma

  Bir rasyonel eşitsizliği çözerken ilk yapmamız gereken, payı ve paydayı sıfır yapan $x$ değerlerini bulmaktır. Bu değerlere "kritik noktalar" denir. Bu noktalar, eşitsizliğin işaret değiştirebileceği yerlerdir.

  • Payı sıfır yapan değer: $2x+6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$.
  • Paydayı sıfır yapan değer: $x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$. (Unutmayın, payda asla sıfır olamaz, bu yüzden $x=4$ değeri çözüm kümesine dahil edilmez.)

  Kritik noktalarımız $x=-3$ ve $x=4$ oldu.

• Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma

  Bulduğumuz kritik noktaları sayı doğrusuna küçükten büyüğe doğru yerleştiririz. Bu noktalar, sayı doğrusunu belirli aralıklara böler. Her bir aralıkta eşitsizliğin işaretini (pozitif mi, negatif mi) incelememiz gerekir.

  Kritik noktalarımız $-3$ ve $4$ olduğu için, inceleyeceğimiz aralıklar şunlardır:

  • $(-\infty, -3)$
  • $(-3, 4)$
  • $(4, \infty)$

  Şimdi her bir aralıkta $2x+6$, $x-4$ ve $(2x+6)/(x-4)$ ifadelerinin işaretlerini belirleyelim:

  • $x < -3$ aralığı (Örnek $x=-4$):
    • $2x+6 \Rightarrow 2(-4)+6 = -8+6 = -2$ (Negatif)
    • $x-4 \Rightarrow -4-4 = -8$ (Negatif)
    • $(2x+6)/(x-4) \Rightarrow (-)/(-) = (+)$ (Pozitif)
  • $-3 < x < 4$ aralığı (Örnek $x=0$):
    • $2x+6 \Rightarrow 2(0)+6 = 6$ (Pozitif)
    • $x-4 \Rightarrow 0-4 = -4$ (Negatif)
    • $(2x+6)/(x-4) \Rightarrow (+)/(-) = (-)$ (Negatif)
  • $x > 4$ aralığı (Örnek $x=5$):
    • $2x+6 \Rightarrow 2(5)+6 = 10+6 = 16$ (Pozitif)
    • $x-4 \Rightarrow 5-4 = 1$ (Pozitif)
    • $(2x+6)/(x-4) \Rightarrow (+)/(+) = (+)$ (Pozitif)
• Adım 3: Eşitsizliği Sağlayan Aralığı Belirleme

  Sorumuzda $(2x+6)/(x-4) < 0$ eşitsizliğinin sağlanması isteniyor. Bu, ifadenin negatif olduğu aralığı bulmamız gerektiği anlamına gelir.

  İşaret tablomuzdan gördüğümüz gibi, ifade sadece $-3 < x < 4$ aralığında negatiftir.

  Çözüm kümemiz $(-3, 4)$ aralığıdır.

• Adım 4: Tam Sayıları Bulma ve Sayısını Belirleme

  Çözüm kümemiz $(-3, 4)$ aralığı olduğuna göre, bu aralıkta bulunan tam sayıları bulmalıyız. Bu aralık, $x$'in $-3$'ten büyük ve $4$'ten küçük olduğu değerleri kapsar.

  Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır: $-2, -1, 0, 1, 2, 3$.

  Şimdi bu tam sayıların sayısını sayalım: 6 tane tam sayı vardır.

Bu adımları takip ederek doğru cevaba ulaştık. Gördüğünüz gibi, adım adım ilerlemek ve her adımı dikkatlice kontrol etmek, karmaşık görünen problemleri bile çözmemizi sağlar.

Cevap D seçeneğidir.