Soru:
\(\frac{x-1}{x+2} \ge 0\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bir rasyonel ifadenin işaretini incelemek için pay ve paydanın köklerini bulup işaret tablosu yaparız.
- ➡️ Payı sıfır yapan değer: \(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
- ➡️ Paydayı sıfır yapan değer (Tanımsız yapar): \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\)
- ➡️ Bu kritik noktaları sayı doğrusuna yerleştirip her aralıktaki işareti inceleriz. Payın ve paydanın işaretlerinin çarpımı bölümün işaretini verir.
- ➡️ İşaret Tablosu:
- \((-\infty, -2)\): Pay \((-)\), payda \((-)\) → Bölüm \((+)\)
- \((-2, 1)\): Pay \((-)\), payda \((+)\) → Bölüm \((-)\)
- \((1, \infty)\): Pay \((+)\), payda \((+)\) → Bölüm \((+)\)
- ➡️ Eşitsizlik \(\ge 0\) olduğu için bölümün pozitif veya sıfır olduğu aralıkları alırız. Paydayı sıfır yapan \(x=-2\) değeri tanımsız olduğundan dahil edilmez.
✅ Sonuç: \( (-\infty, -2) \cup [1, \infty) \)
