log(x² - 4) = log(x - 2) + log(x + 2) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Adım 1: Logaritma Özelliklerini Kullanarak Denklemi Basitleştirme
Verilen denklem $\log(x^2 - 4) = \log(x - 2) + \log(x + 2)$ şeklindedir.
Logaritmanın temel özelliklerinden biri olan $\log A + \log B = \log (A \cdot B)$ özelliğini denklemin sağ tarafına uygulayalım:
$\log(x - 2) + \log(x + 2) = \log((x - 2)(x + 2))$
Sağ tarafı çarpanlara ayırma özdeşliğini kullanarak basitleştirelim: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
$\log((x - 2)(x + 2)) = \log(x^2 - 4)$
Adım 2: Denklemi Yeniden Yazma ve Çözme
Şimdi orijinal denklemimizi basitleştirilmiş haliyle yeniden yazalım:
$\log(x^2 - 4) = \log(x^2 - 4)$
Bu denklem, her iki tarafı da aynı olan bir özdeşliktir. Bu, denklemin, $\log(x^2 - 4)$ ifadesinin tanımlı olduğu tüm $x$ değerleri için doğru olduğu anlamına gelir.
Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme (Tanım Kümesi Kuralına Göre)
Denklemin çözüm kümesi, $\log(x^2 - 4)$ ifadesinin tanımlı olduğu $x$ değerlerinden oluşur. Bir $\log(A)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $A > 0$ olmalıdır. Bu nedenle, $x^2 - 4 > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.
Eşitsizliği çarpanlarına ayıralım: $(x - 2)(x + 2) > 0$
Bu eşitsizliğin kökleri $x = 2$ ve $x = -2$'dir. Bir parabol gibi düşündüğümüzde, $x^2 - 4$ ifadesi, köklerin dışında pozitif değerler alır.
Yani, $x < -2$ veya $x > 2$ olmalıdır.
Bu da çözüm kümesinin $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ olduğu anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
