Bu soruyu çözmek için doğal logaritmanın (ln) temel özelliklerini adım adım hatırlayalım ve uygulayalım.
- Adım 1: Doğal Logaritma (ln) Nedir?
Doğal logaritma, tabanı Euler sayısı $e$ olan logaritmadır. Yani, $ln(x)$ ifadesi aslında $\log_e(x)$ anlamına gelir. Burada $e$ yaklaşık olarak $2.71828$ değerine sahip özel bir matematiksel sabittir.
- Adım 2: Logaritmanın Temel Özelliği
Logaritmanın en önemli özelliklerinden biri, taban ile logaritması alınan sayının tabanı aynı olduğunda üssün dışarı çıkmasıdır. Genel olarak, $\log_b(b^x) = x$ kuralını hatırlayalım. Bu kural, "hangi üsse yükseltirsek $b^x$ elde ederiz?" sorusunun cevabının $x$ olduğunu söyler.
- Adım 3: Doğal Logaritma İçin Kuralı Uygulama
Bu kuralı doğal logaritma için uyguladığımızda, $ln(e^x) = x$ olduğunu görürüz. Çünkü $ln$ zaten $e$ tabanına sahiptir. Yani, $ln(e^x)$ demek $\log_e(e^x)$ demektir ve bu da doğrudan $x$ sonucunu verir.
- Adım 4: İlk İfadeyi Hesaplama
Şimdi sorumuzdaki ilk ifadeye, $ln(e^3)$'e bakalım. Yukarıdaki $ln(e^x) = x$ kuralını kullanarak, $ln(e^3) = 3$ sonucunu elde ederiz. Çünkü $e$'yi $3$. kuvvetine yükseltirsek $e^3$ elde ederiz.
- Adım 5: İkinci İfadeyi Hesaplama
Sorumuzdaki ikinci ifadeye, $ln(e^2)$'ye bakalım. Aynı kuralı kullanarak, $ln(e^2) = 2$ sonucunu elde ederiz. Çünkü $e$'yi $2$. kuvvetine yükseltirsek $e^2$ elde ederiz.
- Adım 6: Sonuçları Toplama
Son olarak, bulduğumuz bu iki değeri toplayalım: $3 + 2 = 5$.
Bu durumda, $ln(e^3) + ln(e^2) = 3 + 2 = 5$ olur.
Cevap A seçeneğidir.
