11. Sınıf Trigonometri: Sinüs ve Kosinüs Teoremi Formülleri Test 1

Bir üçgende iki kenar uzunluğu 8 cm ve 10 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° ise, üçüncü kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

A) 6
B) 2√21
C) 2√19
D) 4√3
E) 12

Bu soruda, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı verilmiş. Bizden üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda kullanacağımız en güçlü araçlardan biri Kosinüs Teoremi'dir.

• 1. Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  Üçgenimizin kenar uzunlukları $a = 8$ cm ve $b = 10$ cm olarak verilmiş. Bu iki kenar arasındaki açı ise $C = 60^\circ$. Bizden üçüncü kenar olan $c$'nin uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• 2. Hangi Teoremi Kullanacağımıza Karar Verelim:

  Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Kosinüs Teoremi, kenarlar ve açılar arasındaki ilişkiyi açıklayan temel bir geometrik bağıntıdır.

• 3. Kosinüs Teoremini Yazalım:

  Üçüncü kenar $c$ için Kosinüs Teoremi şu şekildedir:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

• 4. Bilinen Değerleri Formülde Yerine Koyalım:

  Şimdi verilen değerleri formülümüze yerleştirelim:

  $a = 8$, $b = 10$, $C = 60^\circ$

  $c^2 = (8)^2 + (10)^2 - 2 \cdot (8) \cdot (10) \cdot \cos(60^\circ)$

• 5. $\cos(60^\circ)$ Değerini Bulalım:

  Trigonometriden bildiğimiz üzere, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$'dir. Bu değeri formülde yerine yazalım.

  $c^2 = 64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$

• 6. İşlemleri Yapalım:

  Şimdi denklemi adım adım çözelim:

  $c^2 = 64 + 100 - (160 \cdot \frac{1}{2})$

  $c^2 = 164 - 80$

  $c^2 = 84$

• 7. $c$ Değerini Bulmak İçin Karekök Alalım:

  $c = \sqrt{84}$

  Şimdi $\sqrt{84}$'ü sadeleştirelim. 84 sayısını çarpanlarına ayıralım:

  $84 = 4 \cdot 21$

  Bu durumda:

  $c = \sqrt{4 \cdot 21}$

  $c = \sqrt{4} \cdot \sqrt{21}$

  $c = 2\sqrt{21}$ cm

Böylece üçüncü kenarın uzunluğunu $2\sqrt{21}$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.