C(11,6) = C(11,p) ise p kaçtır?
Kombinasyonlarla ilgili bu soruyu adım adım çözelim. Kombinasyon, belirli bir kümeden elemanları seçme yollarının sayısını ifade eder ve sıralamanın önemli olmadığı durumlarda kullanılır.
Bir $n$ elemanlı kümeden $k$ eleman seçme kombinasyonu $C(n,k)$ veya $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir. Formülü $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
Kombinasyonlarda çok önemli bir özellik vardır: $C(n,k) = C(n, n-k)$. Bu özellik, $n$ elemanlı bir kümeden $k$ eleman seçmekle, $n$ elemanlı bir kümeden $n-k$ eleman seçmemek (yani kalan $k$ elemanı seçmek) arasında bir simetri olduğunu gösterir.
Örneğin, $C(5,2)$ ile $C(5, 5-2) = C(5,3)$ birbirine eşittir. İkisinin de değeri $10$'dur.
Bize verilen eşitlik $C(11,6) = C(11,p)$ şeklindedir.
Yukarıda bahsettiğimiz $C(n,k) = C(n, n-k)$ özelliğini bu eşitliğe uygulayalım. Burada $n=11$ ve $k=6$ olarak düşünebiliriz.
$C(11,6) = C(11,p)$ eşitliğinin sağlanması için, kombinasyonların temel özelliğine göre $p$ için iki olası durum vardır:
Birinci durum: $p$ doğrudan $6$'ya eşit olabilir. Yani $p=6$. Bu durumda eşitlik $C(11,6) = C(11,6)$ olur ki bu zaten doğru bir ifadedir.
İkinci durum: $p$, $11-6$ değerine eşit olabilir. Yani $p = 11-6 = 5$. Bu durumda eşitlik $C(11,6) = C(11,5)$ olur. Kombinasyon özelliğine göre bu da doğrudur.
Bulduğumuz olası $p$ değerleri $6$ ve $5$'tir.
Şimdi seçeneklere bakalım:
Seçeneklerde hem $5$ hem de $6$ bulunuyor. Ancak bu tür sorularda genellikle, kombinasyonun simetri özelliğinden gelen diğer değerin bulunması beklenir. Eğer $p=6$ olsaydı, soru $C(11,6) = C(11,6)$ olurdu ki bu bariz bir eşitliktir ve sorunun amacı genellikle bu özelliği test etmektir. Bu yüzden, beklenen cevap, simetri özelliğinden gelen diğer değer olan $p=5$'tir.
Cevap A seçeneğidir.
