\( (3^2)^4 \) işlemini yapan bir öğrenci sonucu \( 3^6 \) buluyor. Bu öğrenci hangi kuralı yanlış uygulamıştır?
A) Üslü sayılarda çarpma kuralınıSevgili öğrenciler, bu soruda üslü sayılarla ilgili temel bir kuralı hatırlayarak, bir öğrencinin yaptığı hatayı bulacağız. Hadi adım adım ilerleyelim:
Bize verilen işlem $ (3^2)^4 $ şeklindedir. Bu ifade, $ 3^2 $ sayısının 4. kuvvetinin alınması anlamına gelir. Yani, bir üslü sayının tekrar bir kuvvete yükseltilmesi durumudur.
Üslü bir sayının kuvveti alınırken (yani üssün üssü durumunda), taban aynı kalır ve üsler çarpılır. Bu kural matematiksel olarak $ (a^m)^n = a^{m \times n} $ şeklinde ifade edilir. Bu kurala "Üslü bir sayının kuvveti kuralı" denir.
Şimdi doğru kuralı $ (3^2)^4 $ işlemine uygulayalım:
Tabanımız $ 3 $'tür. İçteki üs $ 2 $, dıştaki üs $ 4 $'tür. Kurala göre üsleri çarpmalıyız: $ 2 \times 4 = 8 $. Bu durumda, işlemin doğru sonucu $ 3^8 $ olmalıdır.
Öğrenci sonucu $ 3^6 $ bulmuştur. Bizim bulduğumuz doğru sonuç ise $ 3^8 $'dir.
Öğrenci, $ (3^2)^4 $ işleminde üsleri çarpmak yerine toplamıştır: $ 2 + 4 = 6 $. Bu yüzden $ 3^6 $ sonucunu elde etmiştir.
Öğrencinin yaptığı hata, üslü bir sayının kuvveti alınırken üsleri çarpmak yerine toplamasıdır. Bu durum, "Üslü bir sayının kuvveti kuralı"nın yanlış uygulandığını gösterir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) Üslü sayılarda çarpma kuralını: Bu kural $ a^m \times a^n = a^{m+n} $ şeklindedir. Öğrenci üsleri toplamış olsa da, bu kural iki üslü sayının çarpımı için geçerlidir, bir üslü sayının kuvveti için değil. Öğrenci bu kuralı yanlış bağlamda uygulamış olabilir, ancak temel hata üssün üssü kuralını bilmemesidir.
B) Üslü sayılarda bölme kuralını: Bu kural $ a^m / a^n = a^{m-n} $ şeklindedir. Öğrenci bölme işlemi yapmamıştır.
C) Üslü bir sayının kuvveti kuralını: Bu kural $ (a^m)^n = a^{m \times n} $ şeklindedir. Öğrenci bu kuralı uygulamak yerine üsleri toplamıştır. Yani bu kuralı yanlış uygulamıştır.
D) Negatif üs kuralını: Bu kural $ a^{-n} = 1/a^n $ şeklindedir. Öğrenci negatif üslerle ilgili bir işlem yapmamıştır.
Öğrenci, üslü bir sayının kuvvetini alırken üsleri çarpmak yerine topladığı için "Üslü bir sayının kuvveti kuralı"nı yanlış uygulamıştır.
Cevap C seçeneğidir.