Merhaba sevgili öğrenciler!
İkili (binary) sistemdeki bir sayının onluk (decimal) sistemde nasıl bir sayı olduğunu anlamak için, öncelikle ikili sistemin temel mantığını hatırlayalım. İkili sistemde her basamak, 2'nin bir kuvvetini temsil eder. Sağdan sola doğru ilerledikçe, basamakların temsil ettiği kuvvetler artar.
- Bir ikili sayıyı onluk sisteme çevirirken, her basamağı temsil ettiği 2'nin kuvvetiyle çarparız ve bu çarpımları toplarız.
- En sağdaki basamak (birler basamağı), $2^0$ yani $1$'i temsil eder.
- Onun solundaki basamak $2^1$ yani $2$'yi temsil eder.
- Daha solundaki basamak $2^2$ yani $4$'ü temsil eder ve bu böyle devam eder.
Şimdi sorumuza odaklanalım: "İkili sistemdeki bir sayının son basamağı 1 ise, bu sayı onluk sistemde nasıl bir sayıdır?"
- Bir ikili sayının son basamağı (en sağdaki basamak) her zaman $2^0 = 1$ değerini temsil eder.
- Eğer bu basamak 1 ise, sayının toplam değerine $1 \times 2^0 = 1$ eklenir.
- Diğer tüm basamaklar (yani son basamağın solundaki basamaklar) $2^1, 2^2, 2^3, \dots$ gibi 2'nin daha yüksek kuvvetlerini temsil eder.
- $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, vb. Gördüğünüz gibi, $2^0$ dışındaki tüm 2'nin kuvvetleri çift sayılardır.
- Dolayısıyla, ikili sayının son basamağı dışındaki tüm basamaklarından gelen katkılar (eğer o basamak 1 ise) her zaman çift sayılar olacaktır. Örneğin, $1 \times 2^1 = 2$ (çift), $1 \times 2^2 = 4$ (çift), $1 \times 2^3 = 8$ (çift).
- Bir ikili sayının onluk sistemdeki değeri, bu basamakların temsil ettiği değerlerin toplamıdır.
- Eğer son basamak 1 ise, bu toplam "bir grup çift sayı" ile "1"in toplamı şeklinde olacaktır.
- Matematikte, "çift sayı + tek sayı" her zaman "tek sayı" sonucunu verir.
Örneklerle pekiştirelim:
- $(1)_2 = 1 \times 2^0 = 1$ (Tek sayı)
- $(11)_2 = (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 2 + 1 = 3$ (Tek sayı)
- $(101)_2 = (1 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 4 + 0 + 1 = 5$ (Tek sayı)
- $(111)_2 = (1 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 4 + 2 + 1 = 7$ (Tek sayı)
- $(1001)_2 = (1 \times 2^3) + (0 \times 2^2) + (0 \times 2^1) + (1 \times 2^0) = 8 + 0 + 0 + 1 = 9$ (Tek sayı)
Gördüğünüz gibi, ikili sistemdeki bir sayının son basamağı 1 olduğunda, onluk sistemdeki karşılığı her zaman tek bir sayı olmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
