Kesirli mutlak değer fonksiyonları nasıl çözülür? Test 1

$$\left|\frac{x^2-4}{x-2}\right| = 3$$ denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?

A) -5
B) -3
C) 3
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda mutlak değer içeren bir denklemi çözerek, denklemi sağlayan $x$ değerlerinin çarpımını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Denklemi Sadeleştirme ve Tanım Kümesini Belirleme

  Öncelikle verilen denklemi inceleyelim: $\left|\frac{x^2-4}{x-2}\right| = 3$.

  Kesrin pay kısmındaki $x^2-4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğinden $(x-2)(x+2)$ şeklinde yazılabilir. Yani denklemimiz:

  $\left|\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\right| = 3$ olur.

  Bu kesri sadeleştirebilmek için paydadaki ifadenin sıfır olmaması gerekir. Bu yüzden $x-2 \neq 0$, yani $x \neq 2$ olmalıdır. Bu koşulu aklımızda tutalım.

  $x \neq 2$ olduğu için $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz. Denklemimiz şu hale gelir:

  $\left|x+2\right| = 3$

• Adım 2: Mutlak Değer Denklemini Çözme

  Bir mutlak değer denklemi olan $|A| = B$ (burada $B > 0$) iki farklı denkleme ayrılır: $A = B$ veya $A = -B$.

  Bizim denklemimiz $\left|x+2\right| = 3$ olduğuna göre, iki farklı durum oluşur:

  Durum 1: $x+2 = 3$

  Durum 2: $x+2 = -3$

• Adım 3: x Değerlerini Bulma

  Şimdi bu iki denklemi ayrı ayrı çözelim:

  Durum 1 için:

  $x+2 = 3$

  $x = 3-2$

  $x_1 = 1$

  Durum 2 için:

  $x+2 = -3$

  $x = -3-2$

  $x_2 = -5$

• Adım 4: Tanım Kümesi Kontrolü

  Başlangıçta $x \neq 2$ koşulunu belirlemiştik. Bulduğumuz $x_1 = 1$ ve $x_2 = -5$ değerlerinin ikisi de $2$'den farklıdır. Dolayısıyla her iki çözüm de geçerlidir.

• Adım 5: x Değerlerinin Çarpımını Bulma

  Denklemi sağlayan $x$ değerleri $1$ ve $-5$'tir. Bu değerlerin çarpımını bulalım:

  $1 \times (-5) = -5$

Buna göre, denklemi sağlayan $x$ değerlerinin çarpımı $-5$'tir.

Cevap A seçeneğidir.