Kesirli mutlak değer fonksiyonları nasıl çözülür? Test 1

$$\frac{|x-1|}{|x+2|} < 1$$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-∞, -0.5)
B) (-0.5, ∞)
C) (-∞, -2) ∪ (-0.5, ∞)
D) (-∞, -2) ∪ (-2, -0.5)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer içeren bir eşitsizliği adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Eşitsizlikleri çözerken dikkat etmemiz gereken bazı önemli noktalar vardır. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Tanım Kümesini Belirleme

  Eşitsizliğimiz $\frac{|x-1|}{|x+2|} < 1$ şeklindedir. Kesirli ifadelerde paydanın sıfır olamayacağını biliyoruz. Bu nedenle, $x+2 \neq 0$ olmalıdır, yani $x \neq -2$. Bu, çözüm kümemizin $-2$ değerini içermeyeceği anlamına gelir.

• Adım 2: Mutlak Değer Özelliğini Kullanma

  Mutlak değerin önemli bir özelliği olan $\frac{|a|}{|b|} = |\frac{a}{b}|$ kuralını kullanarak eşitsizliği daha basit bir hale getirebiliriz. Bu durumda eşitsizliğimiz:

  $|\frac{x-1}{x+2}| < 1$ şeklini alır.

• Adım 3: Mutlak Değer Eşitsizliğini Çözme

  $|u| < k$ şeklindeki bir mutlak değer eşitsizliğinin çözümü $-k < u < k$ şeklindedir (burada $k > 0$ olmalıdır). Bizim eşitsizliğimizde $u = \frac{x-1}{x+2}$ ve $k=1$ olduğundan, eşitsizliği şu şekilde yazabiliriz:

  $-1 < \frac{x-1}{x+2} < 1$

  Bu ifadeyi iki ayrı eşitsizlik olarak çözmeliyiz:

  1. $\frac{x-1}{x+2} < 1$
  2. $\frac{x-1}{x+2} > -1$
• Adım 4: Birinci Eşitsizliği Çözme ($\frac{x-1}{x+2} < 1$)

  Bu eşitsizliği çözmek için 1'i sol tarafa atıp paydaları eşitleyelim:

  $\frac{x-1}{x+2} - 1 < 0$

  $\frac{x-1 - (x+2)}{x+2} < 0$

  $\frac{x-1 - x - 2}{x+2} < 0$

  $\frac{-3}{x+2} < 0$

  Bu eşitsizliğin doğru olabilmesi için, payımız negatif ($-3$) olduğundan, paydamızın pozitif olması gerekir. Yani:

  $x+2 > 0 \implies x > -2$

  Bu eşitsizliğin çözüm kümesi $S_1 = (-2, \infty)$'dir.

• Adım 5: İkinci Eşitsizliği Çözme ($\frac{x-1}{x+2} > -1$)

  Benzer şekilde, $-1$'i sol tarafa atıp paydaları eşitleyelim:

  $\frac{x-1}{x+2} + 1 > 0$

  $\frac{x-1 + (x+2)}{x+2} > 0$

  $\frac{x-1 + x + 2}{x+2} > 0$

  $\frac{2x+1}{x+2} > 0$

  Bu rasyonel eşitsizliği çözmek için pay ve paydanın köklerini bulmalıyız:

  • Payın kökü: $2x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} = -0.5$
  • Paydanın kökü: $x+2 = 0 \implies x = -2$

  Şimdi bu kökleri kullanarak bir işaret tablosu oluşturalım veya aralıkları test edelim:

  • $x < -2$ için (örneğin $x=-3$): $\frac{2(-3)+1}{-3+2} = \frac{-5}{-1} = 5 > 0$. Bu aralık çözüme dahildir.
  • $-2 < x < -0.5$ için (örneğin $x=-1$): $\frac{2(-1)+1}{-1+2} = \frac{-1}{1} = -1 < 0$. Bu aralık çözüme dahil değildir.
  • $x > -0.5$ için (örneğin $x=0$): $\frac{2(0)+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0$. Bu aralık çözüme dahildir.

  Bu eşitsizliğin çözüm kümesi $S_2 = (-\infty, -2) \cup (-0.5, \infty)$'dir.

• Adım 6: Çözüm Kümelerini Birleştirme

  Başlangıçtaki eşitsizliği iki parçaya ayırdığımız için, her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerekir. Yani, $S_1$ ve $S_2$ kümelerinin kesişimini almalıyız:

  $S = S_1 \cap S_2 = (-2, \infty) \cap ((-\infty, -2) \cup (-0.5, \infty))$

  Bu kesişimi bulmak için sayı doğrusu üzerinde düşünebiliriz:

  • $S_1$: $-2$'den büyük tüm sayılar.
  • $S_2$: $-2$'den küçük tüm sayılar VEYA $-0.5$'ten büyük tüm sayılar.

  Her iki kümenin de ortak olduğu aralık, $(-0.5, \infty)$ aralığıdır. Çünkü $(-2, \infty)$ ile $(-\infty, -2)$'nin kesişimi boş kümedir, $(-2, \infty)$ ile $(-0.5, \infty)$'nin kesişimi ise $(-0.5, \infty)$'dir.

  Dolayısıyla, eşitsizliğin çözüm kümesi $(-0.5, \infty)$'dir.

• Adım 7: Tanım Kümesi Kontrolü

  İlk adımda $x \neq -2$ kısıtlamasını bulmuştuk. Bulduğumuz çözüm kümesi $(-0.5, \infty)$ olduğu için, $-2$ bu aralıkta değildir. Bu nedenle, çözüm kümemiz geçerlidir.

Cevap B seçeneğidir.