Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için iki farklı yöntem kullanabiliriz: doğrudan çarpma işlemi yapmak veya cebirsel özdeşliklerden faydalanmak. Her iki yöntem de bizi aynı doğru cevaba ulaştıracaktır.
- Yöntem 1: Çarpma İşlemini Adım Adım Yapmak
- Verilen ifade $(x - 1)(x^2 + x + 1)$ şeklindedir. Bu ifadeyi, dağıtma özelliğini kullanarak adım adım çarpalım. Yani, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpacağız.
- Önce ilk parantezdeki $x$ terimini ikinci parantezdeki her terimle çarpalım:
- $x \cdot x^2 = x^3$
- $x \cdot x = x^2$
- $x \cdot 1 = x$
Bu çarpımların toplamı $x^3 + x^2 + x$ olur.
- Şimdi ilk parantezdeki $-1$ terimini ikinci parantezdeki her terimle çarpalım:
- $-1 \cdot x^2 = -x^2$
- $-1 \cdot x = -x$
- $-1 \cdot 1 = -1$
Bu çarpımların toplamı $-x^2 - x - 1$ olur.
- Şimdi bu iki sonucu birleştirelim ve benzer terimleri toplayarak ifadeyi sadeleştirelim:
$$ (x^3 + x^2 + x) + (-x^2 - x - 1) $$
$$ x^3 + x^2 - x^2 + x - x - 1 $$
$$ x^3 + (x^2 - x^2) + (x - x) - 1 $$
$$ x^3 + 0 + 0 - 1 $$
$$ x^3 - 1 $$
- Yöntem 2: Cebirsel Özdeşlik Kullanmak
- Matematikte "iki küp farkı" olarak bilinen önemli bir cebirsel özdeşlik vardır. Bu özdeşlik şu şekildedir:
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$
- Verilen ifadeye dikkatlice bakarsak, $(x - 1)(x^2 + x + 1)$ ifadesinin bu özdeşliğe çok benzediğini görürüz. Eğer $a = x$ ve $b = 1$ alırsak, özdeşliğin sağ tarafı tam olarak bizim ifademize uyar:
$$ (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) $$
- Bu durumda, ifadenin eşiti doğrudan $a^3 - b^3$ formuna göre $x^3 - 1^3$ olacaktır.
- $1^3$ değeri $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ olduğundan, ifadenin eşiti $x^3 - 1$ olur.
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık: $x^3 - 1$. Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
