Üstel fonksiyonun türevi Test 1

f(x) = e^(2x) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) e^(2x)
B) 2e^(2x)
C) 2x·e^(2x)
D) e^2

Bugün, üstel fonksiyonların türevini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz, $f(x) = e^{2x}$ fonksiyonunun türevini bulmakla ilgili.

Bu tür bir fonksiyonun türevini alırken Zincir Kuralı'nı kullanmamız gerektiğini unutmayın. Zincir Kuralı, iç içe geçmiş fonksiyonların türevini alırken bize yol gösterir.

• Adım 1: Temel Kuralı Hatırlayalım

  Öncelikle, $e^u$ şeklindeki bir ifadenin türevini hatırlayalım. Eğer $u$, $x$'e bağlı bir fonksiyon ise, yani $u = g(x)$ ise, $e^{g(x)}$ fonksiyonunun türevi şu şekildedir:

  $\frac{d}{dx} (e^{g(x)}) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$

  Yani, fonksiyonun kendisini yazarız ve içindeki $g(x)$'in türevi ile çarparız.

• Adım 2: Fonksiyonumuzu Tanımlayalım

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = e^{2x}$. Bu fonksiyonda, $e$'nin üssü olan ifade $2x$'tir. O halde, yukarıdaki kuraldaki $g(x)$ yerine $2x$ gelmektedir.

  Yani, $g(x) = 2x$ olarak düşünebiliriz.

• Adım 3: İç Fonksiyonun Türevini Bulalım

  Şimdi, $g(x) = 2x$ fonksiyonunun türevini almamız gerekiyor. $g'(x)$'i bulalım:

  $g'(x) = \frac{d}{dx} (2x)$

  Sabit bir sayının (2) bir değişkenle ($x$) çarpımının türevi, o sabit sayıdır. Yani:

  $g'(x) = 2$

• Adım 4: Zincir Kuralını Uygulayalım

  Artık tüm parçaları birleştirebiliriz. Hatırlayın, kuralımız $\frac{d}{dx} (e^{g(x)}) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ idi.

  Bizim durumumuzda, $e^{g(x)}$ kısmı $e^{2x}$ ve $g'(x)$ kısmı $2$'dir.

  Bu değerleri yerine koyarsak:

  $f'(x) = e^{2x} \cdot 2$

  Daha düzenli bir şekilde yazarsak:

  $f'(x) = 2e^{2x}$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz türev $2e^{2x}$'tir. Şimdi seçeneklere bakalım:

  A) $e^{2x}$

  B) $2e^{2x}$

  C) $2x \cdot e^{2x}$

  D) $e^2$

  Görüldüğü gibi, bulduğumuz sonuç B seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.