Sevgili öğrenciler, bu soruda üstel bir fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür fonksiyonların türevini nasıl alacağımızı öğrenelim.
- Adım 1: Fonksiyonu Tanıyalım
- Bize verilen fonksiyon $f(x) = 4^{3x}$ şeklindedir. Bu, tabanı sabit bir sayı (4) olan ve üssü $x$'e bağlı bir ifade ($3x$) içeren bir üstel fonksiyondur.
- Adım 2: Üstel Fonksiyonların Türev Kuralını Hatırlayalım
- Genel olarak, eğer bir fonksiyon $g(x) = a^{u(x)}$ şeklinde ise (burada $a$ sabit bir sayı ve $u(x)$, $x$'e bağlı bir fonksiyondur), bu fonksiyonun türevi şu formülle bulunur:
- $g'(x) = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$
- Bu kuralı zincir kuralının üstel fonksiyonlara uygulanmış hali olarak düşünebiliriz. $\ln(a)$ terimi, $a$ tabanındaki doğal logaritmayı ifade eder.
- Adım 3: Fonksiyonumuzdaki Bileşenleri Belirleyelim
- Bizim fonksiyonumuz $f(x) = 4^{3x}$ olduğundan, genel kuraldaki bileşenleri şu şekilde eşleştirebiliriz:
- Taban $a = 4$
- Üs $u(x) = 3x$
- Adım 4: Üssün Türevini Bulalım ($u'(x)$)
- Şimdi $u(x) = 3x$ fonksiyonunun türevini almalıyız.
- $u'(x) = \frac{d}{dx}(3x) = 3$
- Adım 5: Tüm Bileşenleri Türev Kuralında Yerine Koyalım
- Bulduğumuz $a$, $u(x)$ ve $u'(x)$ değerlerini genel türev formülünde yerine yazalım:
- $f'(x) = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)$
- $f'(x) = 4^{3x} \cdot \ln(4) \cdot 3$
- Adım 6: İfadeyi Düzenleyelim
- Matematiksel ifadelerde genellikle sabit sayılar ve çarpanlar başa yazılır. Bu yüzden ifadeyi daha düzenli bir hale getirelim:
- $f'(x) = 3 \cdot 4^{3x} \cdot \ln(4)$
- Bu sonuç, seçenekler arasında doğru cevabı bulmamızı sağlayacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
