Üstel fonksiyonun türevi Test 1

f(x) = 10^x fonksiyonunun türevinin x=1 noktasındaki değeri nedir?

A) 10
B) 10·ln(10)
C) ln(10)
D) 1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir üstel fonksiyonun türevini belirli bir noktada nasıl hesaplayacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Konumuz $f(x) = 10^x$ fonksiyonunun $x=1$ noktasındaki türevi.

• Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama

Bize verilen fonksiyon $f(x) = 10^x$'tir. Bu, tabanı sabit (10) olan bir üstel fonksiyondur.

• Adım 2: Genel Üstel Fonksiyonun Türev Kuralını Hatırlama

Genel olarak, $a$ bir sabit sayı olmak üzere, $g(x) = a^x$ şeklindeki bir üstel fonksiyonun türevi için özel bir kuralımız vardır. Bu kural şöyledir:

$g'(x) = a^x \cdot \ln(a)$

Burada $\ln(a)$, $a$'nın doğal logaritmasıdır (yani $e$ tabanına göre logaritmasıdır).

• Adım 3: Fonksiyonumuzun Türevini Bulma

Şimdi bu kuralı kendi fonksiyonumuza uygulayalım. Bizim fonksiyonumuz $f(x) = 10^x$ olduğuna göre, $a=10$'dur.

Kuralı uyguladığımızda, $f(x)$'in türevi olan $f'(x)$'i buluruz:

$f'(x) = 10^x \cdot \ln(10)$

Bu ifade, $f(x)$ fonksiyonunun herhangi bir $x$ noktasındaki eğimini (türevini) verir.

• Adım 4: Türevin Belirli Bir Noktadaki Değerini Hesaplama

Soru bizden türevin $x=1$ noktasındaki değerini bulmamızı istiyor. Bunun için, bulduğumuz $f'(x)$ ifadesinde $x$ yerine $1$ yazmamız yeterlidir:

$f'(1) = 10^1 \cdot \ln(10)$

Matematikte $10^1$ demek $10$ demektir. Bu durumda ifade şöyle sadeleşir:

$f'(1) = 10 \cdot \ln(10)$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

Bulduğumuz sonuç $10 \cdot \ln(10)$'dur. Seçeneklere baktığımızda, bu değerin B seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.