Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, aynı maddeden yapılmış küp şeklindeki cisimlerin dayanıklılıklarını karşılaştıracağız. Bir cismin boyutları büyüdükçe dayanıklılığının nasıl değiştiğini anlamak, fizik ve mühendislikte önemli bir kavramdır. Hadi adım adım bu soruyu çözelim!
- Adım 1: Dayanıklılık Kavramını Anlayalım
- Bir cismin kendi ağırlığına veya dış etkilere karşı gösterdiği dayanıklılık, genellikle kesit alanı ile hacminin oranına bağlıdır. Daha büyük bir kesit alanı, daha fazla yük taşıma kapasitesi anlamına gelirken, daha büyük bir hacim (ve dolayısıyla kütle), cismin kendi ağırlığının artmasına neden olur. Bu nedenle, dayanıklılık genellikle $\frac{\text{Kesit Alanı}}{\text{Hacim}}$ oranı ile doğru orantılıdır.
- Adım 2: Küp Şeklindeki Cisimler İçin Dayanıklılığı İfade Edelim
- Kenar uzunluğu $a$ olan bir küp düşünelim:
- Küpün kesit alanı (bir yüzeyinin alanı): $A = a^2$
- Küpün hacmi: $V = a^3$
- Bu durumda, küpün dayanıklılığı $D \propto \frac{A}{V}$ formülüyle orantılıdır.
- $D \propto \frac{a^2}{a^3}$
- $D \propto \frac{1}{a}$
- Bu sonuç bize, küpün dayanıklılığının kenar uzunluğu ile ters orantılı olduğunu gösterir. Yani, küpün kenar uzunluğu arttıkça dayanıklılığı azalır.
- Adım 3: Verilen Bilgileri Uygulayalım
- Soruda iki küpümüz var: küçük küp ve büyük küp.
- Küçük küpün kenar uzunluğu $a_k$ olsun.
- Büyük küpün kenar uzunluğu $a_b$ olsun.
- Soruda, büyük küpün kenar uzunluğunun küçük küpün kenar uzunluğunun 3 katı olduğu belirtiliyor: $a_b = 3a_k$.
- Adım 4: Her İki Küpün Dayanıklılığını Yazalım
- Dayanıklılığın kenar uzunluğu ile ters orantılı olduğunu bildiğimizden:
- Küçük küpün dayanıklılığı: $D_k \propto \frac{1}{a_k}$
- Büyük küpün dayanıklılığı: $D_b \propto \frac{1}{a_b}$
- Adım 5: Büyük Küpün Dayanıklılığının Küçük Küpün Dayanıklılığına Oranını Hesaplayalım
- Bizden istenen oran $\frac{D_b}{D_k}$'dir.
- $\frac{D_b}{D_k} = \frac{\frac{1}{a_b}}{\frac{1}{a_k}}$
- $\frac{D_b}{D_k} = \frac{a_k}{a_b}$
- Şimdi, $a_b = 3a_k$ bilgisini bu oranda yerine koyalım:
- $\frac{D_b}{D_k} = \frac{a_k}{3a_k}$
- $\frac{D_b}{D_k} = \frac{1}{3}$
Yani, büyük küpün dayanıklılığı, küçük küpün dayanıklılığının $\frac{1}{3}$'ü kadardır. Bu da, boyutlar büyüdükçe cisimlerin kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılıklarının azaldığını gösterir.
Cevap A seçeneğidir.
