Fonksiyonların tanım kümelerini bulma Test 1

n(x) = √(9-x²)/ln(x-1) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (1, 2) ∪ (2, 3]
B) [1, 3] - {2}
C) (1, 3] - {2}
D) [-3, 3] - {1, 2}

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için, fonksiyonu oluşturan her bir parçanın tanımlı olma koşullarını incelememiz gerekir. $n(x) = \frac{\sqrt{9-x^2}}{\ln(x-1)}$ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için aşağıdaki üç temel kurala uymalıyız:

• Kareköklü İfade Kuralı: Bir karekökün içindeki ifade negatif olamaz. Yani, $\sqrt{A}$ ifadesinin tanımlı olması için $A \ge 0$ olmalıdır.
• Logaritma İfadesi Kuralı: Bir doğal logaritmanın (ln) içindeki ifade sıfırdan büyük olmalıdır. Yani, $\ln(B)$ ifadesinin tanımlı olması için $B > 0$ olmalıdır.
• Kesirli İfade Kuralı: Bir kesrin paydası sıfır olamaz. Yani, $\frac{C}{D}$ ifadesinin tanımlı olması için $D \ne 0$ olmalıdır.

Şimdi bu kuralları $n(x)$ fonksiyonumuza adım adım uygulayalım:

• 1. Kareköklü İfade İçin Koşul:

  Fonksiyonumuzda $\sqrt{9-x^2}$ ifadesi bulunmaktadır. Bu ifadenin tanımlı olması için kök içindeki $9-x^2$ ifadesi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır:

  $9-x^2 \ge 0$

  $9 \ge x^2$

  Bu eşitsizliği çözdüğümüzde, $x$ değerleri $-3$ ile $3$ arasında olmalıdır:

  $-3 \le x \le 3$

  Bu koşulun sağlandığı aralık $x \in [-3, 3]$'tür.

• 2. Logaritma İfadesi İçin Koşul:

  Fonksiyonumuzun paydasında $\ln(x-1)$ ifadesi bulunmaktadır. Bu ifadenin tanımlı olması için logaritmanın içindeki $x-1$ ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır:

  $x-1 > 0$

  $x > 1$

  Bu koşulun sağlandığı aralık $x \in (1, \infty)$'dir.

• 3. Payda Sıfır Olamaz Koşulu:

  Fonksiyonumuz kesirli bir ifadedir ve paydasında $\ln(x-1)$ bulunmaktadır. Payda sıfır olamayacağı için $\ln(x-1)$ ifadesi sıfıra eşit olmamalıdır:

  $\ln(x-1) \ne 0$

  Bir logaritma ifadesinin değeri $0$ olması için logaritmanın içindeki ifade $1$ olmalıdır (çünkü $\ln(1)=0$). Bu durumda:

  $x-1 \ne 1$

  $x \ne 2$

Şimdi bulduğumuz tüm bu koşulları bir araya getirmeliyiz. Tanım kümesi, bu üç koşulun hepsini aynı anda sağlayan $x$ değerlerinin kümesidir:

• Birinci koşuldan: $x \in [-3, 3]$
• İkinci koşuldan: $x \in (1, \infty)$
• Üçüncü koşuldan: $x \ne 2$

İlk iki koşulun kesişimini alalım:

• $[-3, 3] \cap (1, \infty)$
• Bu kesişim, $x$ değerlerinin $1$'den büyük ve $3$'e eşit veya küçük olduğu aralığı verir: $(1, 3]$.

Son olarak, bu aralıktan üçüncü koşulu çıkaralım. Yani $x=2$ değerini bu aralıktan çıkarmalıyız:

• $(1, 3] - \{2\}$

Bu ifade, $1$ ile $3$ arasındaki tüm sayıları kapsar, ancak $2$ sayısını dışarıda bırakır. Bu küme aynı zamanda $(1, 2) \cup (2, 3]$ şeklinde de yazılabilir.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz tanım kümesi C seçeneğinde verilmiştir.

Cevap C seçeneğidir.