Özdeşlikler nelerdir Test 1

$a + b = 7$ ve $ab = 12$ olduğuna göre, $a^2 + b^2$ kaçtır?

A) 25
B) 37
C) 49
D) 61

Sevgili öğrenciler, bu tür cebir sorularında genellikle bilinen özdeşlikleri kullanarak sonuca ulaşırız. Şimdi adım adım sorumuzu çözelim:

• Verilen Bilgiler:

  Soruda bize iki önemli bilgi verilmiş:

  $a + b = 7$

  $ab = 12$

  Bizden istenen ise $a^2 + b^2$ ifadesinin değerini bulmaktır.

• Hangi Özdeşliği Kullanacağız?

  $(a+b)^2$ ifadesinin açılımını hatırlayalım. Bu, cebirde çok sık kullandığımız temel bir özdeşliktir:

  $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

  Gördüğünüz gibi, bu özdeşliğin içinde hem $a+b$ hem $ab$ hem de $a^2+b^2$ ifadeleri bulunuyor. Bu, tam da aradığımız özdeşlik!

• İstenen İfadeyi Özdeşlikten Çekme:

  Biz $a^2 + b^2$ ifadesini bulmak istiyoruz. Yukarıdaki özdeşliği bu ifadeyi yalnız bırakacak şekilde düzenleyebiliriz. Bunun için $2ab$ terimini eşitliğin diğer tarafına atarız:

  $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$

  Şimdi elimizdeki bilgileri bu yeni denkleme yerleştirebiliriz.

• Değerleri Yerine Koyma ve Hesaplama:

  Bize verilen $a+b=7$ ve $ab=12$ değerlerini bulduğumuz denklemde yerine yazalım:

  $a^2 + b^2 = (7)^2 - 2 \cdot (12)$

  Şimdi işlemleri adım adım yapalım:

  Önce üslü ifadeyi hesaplayalım: $(7)^2 = 7 \times 7 = 49$

  Sonra çarpma işlemini yapalım: $2 \cdot (12) = 24$

  Bu değerleri denklemde yerine koyarsak:

  $a^2 + b^2 = 49 - 24$

  $a^2 + b^2 = 25$

Böylece $a^2 + b^2$ ifadesinin değerini $25$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.