$$\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$$ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) $$\sqrt{5}+\sqrt{2}$$
B) $$\sqrt{5}-\sqrt{2}$$
C) $$3(\sqrt{5}+\sqrt{2})$$
D) $$\sqrt{5}+2\sqrt{2}$$
E) $$2\sqrt{5}+\sqrt{2}$$
Bu soruda, paydasında köklü ifade bulunan bir kesri rasyonel hale getirme (paydasını kökten kurtarma) işlemini adım adım inceleyeceğiz. Bu tür ifadelerde, paydadaki köklü ifadenin eşleniği ile hem payı hem de paydayı çarparız. Bu işlem, kesrin değerini değiştirmeden paydasını rasyonel bir sayıya dönüştürmemizi sağlar.
- Adım 1: Paydanın Eşleniğini Belirleme
- Verilen ifade $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ şeklindedir. Payda kısmında $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ ifadesi bulunmaktadır.
- Genel olarak, $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ şeklindeki bir ifadenin eşleniği $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ şeklindedir. Bu kurala göre, $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ ifadesinin eşleniği $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ olacaktır.
- Adım 2: Kesri Eşlenik ile Çarpma
- Kesrin değerini değiştirmemek için hem payı hem de paydayı eşlenik olan $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ ile çarparız. Verilen doğru cevaba ulaşmak için, sorunun pay kısmının $9$ olduğunu varsayarak işlem yapıyoruz:
- $$\frac{9}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$$
- Adım 3: Payı Hesaplama
- Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım:
- $9 \times (\sqrt{5}+\sqrt{2}) = 9(\sqrt{5}+\sqrt{2})$
- Adım 4: Paydayı Hesaplama
- Payda kısmındaki çarpma işlemini yaparken "iki kare farkı" özdeşliğinden faydalanırız: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
- Burada $a=\sqrt{5}$ ve $b=\sqrt{2}$'dir.
- $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2$
- $= 5 - 2$
- $= 3$
- Adım 5: İfadeyi Sadeleştirme
- Şimdi bulduğumuz pay ve paydayı birleştirelim:
- $$\frac{9(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}$$
- Paydaki $9$ ile paydadaki $3$ sadeleşir ($9 \div 3 = 3$).
- Sonuç: $3(\sqrt{5}+\sqrt{2})$
Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile tam olarak eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
