$$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$$ ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
A) $$\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$
B) $$\frac{\sqrt{21}+3}{4}$$
C) $$\sqrt{21}+3$$
D) $$\frac{2\sqrt{21}+6}{4}$$
E) $$\frac{\sqrt{21}+3}{8}$$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, paydasında köklü ifade bulunan bir kesri, paydasını rasyonel yaparak sadeleştirmemiz isteniyor. Bu tür işlemlerde temel amacımız, paydadaki köklü ifadelerden kurtulmaktır. Hadi adım adım bu işlemi nasıl yapacağımızı görelim.
- Verilen ifade $ \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} $ şeklindedir. Paydadaki $ \sqrt{7}-\sqrt{3} $ ifadesini rasyonel yapmak için, bu ifadenin eşleniği ile hem payı hem de paydayı çarpmamız gerekir.
- Bir ifadenin eşleniği, $ (a-b) $ şeklindeki bir ifade için $ (a+b) $; $ (a+b) $ şeklindeki bir ifade için ise $ (a-b) $ şeklindedir. Bu sayede $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $ özdeşliğini kullanarak köklerden kurtuluruz.
- Paydadaki $ \sqrt{7}-\sqrt{3} $ ifadesinin eşleniği $ \sqrt{7}+\sqrt{3} $ olacaktır. Şimdi kesrimizi bu eşlenik ile çarpalım:
$$ \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} $$
- Önce payı çarpalım:
$$ 2\sqrt{3} \times (\sqrt{7}+\sqrt{3}) = (2\sqrt{3} \times \sqrt{7}) + (2\sqrt{3} \times \sqrt{3}) $$
$$ = 2\sqrt{3 \times 7} + 2 \times 3 $$
$$ = 2\sqrt{21} + 6 $$
- Şimdi de paydayı çarpalım. Burada $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $ özdeşliğini kullanacağız:
$$ (\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 $$
$$ = 7 - 3 $$
$$ = 4 $$
- Bulduğumuz pay ve paydayı birleştirelim:
$$ \frac{2\sqrt{21}+6}{4} $$
- Bu ifadeyi daha da sadeleştirebiliriz. Paydaki her terimi ve paydayı ortak bir bölenle sadeleştirelim. Görüyoruz ki paydaki $ 2\sqrt{21} $ ve $ 6 $ terimleri ile paydadaki $ 4 $ sayısı $ 2 $ ile bölünebilir.
$$ \frac{2\sqrt{21}}{4} + \frac{6}{4} $$
$$ = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{3}{2} $$
$$ = \frac{\sqrt{21}+3}{2} $$
- Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
