Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri Test 1

İkinci bölgede hangi trigonometrik fonksiyon negatiftir?

A) sinüs
B) kosinüs
C) tanjant
D) kotanjant

Bu soruyu çözmek için, koordinat sistemindeki bölgeleri ve trigonometrik fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini adım adım inceleyelim:

• 1. Koordinat Sistemi ve Bölgeler:

  Koordinat sistemi, düzlemi dört ana bölgeye ayırır. Açılar, pozitif x-ekseninden saat yönünün tersine doğru ölçülür. Her bölgedeki x ve y koordinatlarının işaretleri şöyledir:

  Birinci Bölge ($0^\circ$ - $90^\circ$): x pozitif, y pozitif.

  İkinci Bölge ($90^\circ$ - $180^\circ$): x negatif, y pozitif.

  Üçüncü Bölge ($180^\circ$ - $270^\circ$): x negatif, y negatif.

  Dördüncü Bölge ($270^\circ$ - $360^\circ$): x pozitif, y negatif.

• 2. Trigonometrik Fonksiyonların Temel Tanımları:

  Birim çember üzerinde bir nokta $(x, y)$ ve bu noktanın orijine uzaklığı $r$ (her zaman pozitif) olmak üzere, trigonometrik fonksiyonlar şu şekilde tanımlanır:

  $sin(\theta) = \frac{y}{r}$

  $cos(\theta) = \frac{x}{r}$

  $tan(\theta) = \frac{y}{x}$

  $cot(\theta) = \frac{x}{y}$

• 3. İkinci Bölgede İşaretlerin Belirlenmesi:

  Soru, ikinci bölgedeki işaretleri sorduğu için bu bölgeye odaklanalım. İkinci bölgede bir nokta aldığımızda, bu noktanın x koordinatı negatif ($x < 0$) ve y koordinatı pozitif ($y > 0$) olacaktır. Unutmayalım ki $r$ (birim çemberde yarıçap) her zaman pozitiftir ($r > 0$).

  Şimdi her bir trigonometrik fonksiyonun işaretini bu bilgilere göre inceleyelim:

  A) Sinüs ($sin(\theta)$): $sin(\theta) = \frac{y}{r}$. İkinci bölgede $y$ pozitif ve $r$ pozitif olduğundan, $\frac{(+)}{(+)}$ sonucu pozitif olur. Yani $sin(\theta) > 0$.

  B) Kosinüs ($cos(\theta)$): $cos(\theta) = \frac{x}{r}$. İkinci bölgede $x$ negatif ve $r$ pozitif olduğundan, $\frac{(-)}{(+)}$ sonucu negatif olur. Yani $cos(\theta) < 0$.

  C) Tanjant ($tan(\theta)$): $tan(\theta) = \frac{y}{x}$. İkinci bölgede $y$ pozitif ve $x$ negatif olduğundan, $\frac{(+)}{(-)}$ sonucu negatif olur. Yani $tan(\theta) < 0$.

  D) Kotanjant ($cot(\theta)$): $cot(\theta) = \frac{x}{y}$. İkinci bölgede $x$ negatif ve $y$ pozitif olduğundan, $\frac{(-)}{(+)}$ sonucu negatif olur. Yani $cot(\theta) < 0$.

• 4. Sonuç:

  İkinci bölgede sinüs pozitifken, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Soru bizden ikinci bölgede hangi trigonometrik fonksiyonun negatif olduğunu sormaktadır. Seçeneklere baktığımızda, B seçeneğindeki kosinüs fonksiyonu ikinci bölgede negatiftir.

Cevap B seçeneğidir.