A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde R = {(1,2), (2,3), (1,3)} bağıntısı geçişme özelliğine sahip midir?
A) Evet, çünkü (1,2) ve (2,3) var ve (1,3) de var
B) Hayır, çünkü (2,1) yok
C) Evet, çünkü simetriktir
D) Hayır, çünkü yansıyan değil
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bir bağıntının geçişme (transitif) özelliğine sahip olup olmadığını anlamak için öncelikle bu özelliğin tanımını hatırlayalım ve ardından verilen bağıntıyı bu tanıma göre inceleyelim.
- Geçişme Özelliği (Transitivity): Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir $R$ bağıntısı için, eğer $A$ kümesindeki herhangi $a, b, c$ elemanları için, $(a,b) \in R$ ve $(b,c) \in R$ ise, bu durumda $(a,c) \in R$ olmak zorundadır. Yani, bir elemandan diğerine, diğerinden üçüncü bir elemana bir "geçiş" varsa, doğrudan birinci elemandan üçüncü elemana da bir geçiş olmalıdır.
- Verilen küme $A = \{1, 2, 3\}$ ve bağıntı $R = \{(1,2), (2,3), (1,3)\}$ şeklindedir.
- Şimdi, $R$ bağıntısındaki elemanları inceleyerek geçişme özelliğini kontrol edelim:
- $R$ bağıntısında $(a,b)$ ve $(b,c)$ şeklinde ardışık elemanlar arıyoruz.
- Görüyoruz ki $(1,2) \in R$ ve $(2,3) \in R$ elemanları mevcuttur. Burada $a=1$, $b=2$ ve $c=3$ olarak düşünebiliriz.
- Geçişme özelliğine göre, $(1,2) \in R$ ve $(2,3) \in R$ ise, $(1,3)$ elemanının da $R$ bağıntısında olması gerekir.
- $R$ bağıntısına baktığımızda, $(1,3)$ elemanının da $R$ içerisinde olduğunu görüyoruz: $R = \{(1,2), (2,3), \mathbf{(1,3)}\}$.
- Başka $(a,b)$ ve $(b,c)$ şeklinde ardışık eleman çifti var mı diye kontrol edelim:
- Eğer $(a,b) = (2,3)$ alırsak, $b=3$ olur. $R$ kümesinde $3$ ile başlayan başka bir eleman olmadığı için bu durum için kontrol yapmamıza gerek kalmaz.
- Eğer $(a,b) = (1,3)$ alırsak, $b=3$ olur. $R$ kümesinde $3$ ile başlayan başka bir eleman olmadığı için bu durum için de kontrol yapmamıza gerek kalmaz.
- Sadece bir tane "zincir" (yani $(a,b)$ ve $(b,c)$ şeklinde ardışık eleman çifti) bulduk ve bu zincirin geçişme özelliğini sağladığını gördük. Başka hiçbir zincir de bu özelliği ihlal etmediği için, $R$ bağıntısı geçişme özelliğine sahiptir.
- Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) Evet, çünkü (1,2) ve (2,3) var ve (1,3) de var: Bu açıklama, yukarıda yaptığımız analizi tam olarak yansıtmaktadır ve geçişme özelliğinin tanımına uygun bir örneği doğru bir şekilde vermektedir.
- B) Hayır, çünkü (2,1) yok: $(2,1)$ elemanının olmaması, bağıntının simetrik olup olmadığıyla ilgilidir, geçişme özelliğiyle değil.
- C) Evet, çünkü simetriktir: Bağıntı simetrik değildir. Örneğin, $(1,2) \in R$ iken $(2,1) \notin R$. Ayrıca, simetriklik geçişme özelliğinden farklı bir özelliktir.
- D) Hayır, çünkü yansıyan değil: Bağıntı yansıyan (refleksif) değildir. Örneğin, $(1,1) \notin R$. Yansıyan olmaması da geçişme özelliğini etkilemez.
Bu durumda, $R$ bağıntısı geçişme özelliğine sahiptir çünkü $(1,2) \in R$ ve $(2,3) \in R$ olduğunda, $(1,3) \in R$ koşulu sağlanmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
