x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 denklemi ile verilen çemberin merkezi ve yarıçapı nedir?
A) Merkez: (3, -2), Yarıçap: 5
B) Merkez: (-3, 2), Yarıçap: 5
C) Merkez: (3, -2), Yarıçap: √13
D) Merkez: (-3, 2), Yarıçap: √13
Çember denklemlerini anlamak, geometride önemli bir adımdır. Bir çemberin genel denklemi verildiğinde, onun merkezini ve yarıçapını bulmak için iki temel yöntem kullanabiliriz: tam kareye tamamlama veya genel denklem formüllerini kullanma. Bu çözümde, tam kareye tamamlama yöntemini adım adım uygulayarak çemberin merkezini ve yarıçapını bulacağız. Bu yöntem, denklemin yapısını daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır.
- Adım 1: Denklemi Düzenleme
- Verilen çember denklemi: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$.
- Öncelikle, $x$ terimlerini ve $y$ terimlerini bir araya getirelim ve sabit terimi denklemin sağ tarafına atalım.
- $(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$
- Adım 2: $x$ Terimlerini Tam Kareye Tamamlama
- $x^2 - 6x$ ifadesini tam kare yapmak için, $x$'in katsayısının yarısının karesini eklememiz gerekir. $x$'in katsayısı $-6$'dır. Yarısı $-3$'tür. Karesi $(-3)^2 = 9$'dur.
- Bu değeri denklemin her iki tarafına da eklemeliyiz.
- $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y) = 12 + 9$
- Bu ifadeyi $(x-3)^2$ olarak yazabiliriz.
- $(x-3)^2 + (y^2 + 4y) = 21$
- Adım 3: $y$ Terimlerini Tam Kareye Tamamlama
- Şimdi $y^2 + 4y$ ifadesini tam kare yapalım. $y$'nin katsayısı $4$'tür. Yarısı $2$'dir. Karesi $(2)^2 = 4$'tür.
- Bu değeri de denklemin her iki tarafına eklemeliyiz.
- $(x-3)^2 + (y^2 + 4y + 4) = 21 + 4$
- Bu ifadeyi $(y+2)^2$ olarak yazabiliriz.
- $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$
- Adım 4: Standart Çember Denklemiyle Karşılaştırma
- Elde ettiğimiz denklem $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ şeklindedir.
- Bir çemberin standart denklemi $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ şeklindedir. Burada $(a,b)$ çemberin merkezi ve $r$ çemberin yarıçapıdır.
- Denklemleri karşılaştırdığımızda:
- $a = 3$
- $b = -2$ (çünkü $(y+2)^2 = (y-(-2))^2$)
- $r^2 = 25 \implies r = \sqrt{25} = 5$ (yarıçap pozitif bir değerdir)
- Adım 5: Merkezi ve Yarıçapı Belirleme
- Çemberin merkezi $(a,b) = (3, -2)$'dir.
- Çemberin yarıçapı $r = 5$'tir.
Bu sonuçlara göre, doğru seçenek A'dır.
Cevap A seçeneğidir.
