tan(a+b) ve tan(a-b) formülü Test 1

tan(45°+30°) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1
B) √3
C) 2+√3
D) 2-√3

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, toplam açının tanjantını bulmamız isteniyor. Trigonometrideki önemli formüllerden birini kullanarak bu ifadeyi kolayca çözebiliriz. Haydi adım adım ilerleyelim:

• Öncelikle, $\tan(A+B)$ formülünü hatırlayalım. Bu formül şöyledir:

  $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

• Şimdi, sorumuzdaki ifadeyi bu formülle eşleştirelim. Burada $A = 45^\circ$ ve $B = 30^\circ$ olduğunu görüyoruz.
• Daha sonra, bu açıların tanjant değerlerini hatırlayalım:
  • $\tan(45^\circ) = 1$
  • $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• Bu değerleri formülde yerine yazalım:

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}$

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

• Şimdi, pay ve paydayı ayrı ayrı düzenleyelim. Payda ve paydada ortak paydayı kullanarak işlemleri yapalım:

  Pay: $1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3+\sqrt{3}}{3}$

  Payda: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$

• İfadeyi tekrar yazalım:

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}$

  Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde paydadaki $3$'ler birbirini götürür:

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

• Son olarak, paydayı rasyonel hale getirmek için paydanın eşleniği olan $(3+\sqrt{3})$ ile hem payı hem de paydayı çarpalım:

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

  Payı ve paydayı ayrı ayrı çarpalım:

  Pay: $(3+\sqrt{3})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}$

  Payda: $(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$

• Şimdi bu değerleri yerine yazalım:

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6}$

• Paydaki her terimi paydaya bölelim:

  $\tan(45^\circ+30^\circ) = \frac{12}{6} + \frac{6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$

Böylece, $\tan(45^\circ+30^\circ)$ ifadesinin değerini $2+\sqrt{3}$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.