2^(x^2-1) < 8 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerleri kaç tanedir?
Sevgili öğrenciler, bu soruda üslü bir eşitsizliği çözerek, eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Eşitsizliğin Temellerini Eşitleme
Verilen eşitsizlik $2^{x^2-1} < 8$ şeklindedir. Üslü eşitsizlikleri çözmek için genellikle tabanları eşitlemeye çalışırız. Sağ taraftaki 8 sayısını 2'nin bir kuvveti olarak yazabiliriz: $8 = 2^3$.
Böylece eşitsizliğimiz şu hale gelir:
$2^{x^2-1} < 2^3$
2. Adım: Üsleri Karşılaştırma
Tabanlar eşit ve 1'den büyük (yani 2 > 1) olduğu için, eşitsizliğin yönü değişmeden üsleri karşılaştırabiliriz. Eğer taban 0 ile 1 arasında olsaydı, eşitsizliğin yönü değişirdi. Ancak burada taban 2 olduğu için yön aynı kalır.
Bu durumda üsler için aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz:
$x^2-1 < 3$
3. Adım: İkinci Dereceden Eşitsizliği Çözme
Şimdi elde ettiğimiz $x^2-1 < 3$ eşitsizliğini çözelim. Öncelikle 3'ü sol tarafa atalım:
$x^2-1-3 < 0$
$x^2-4 < 0$
Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir. Köklerini bulmak için $x^2-4=0$ denklemini çözelim:
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4}$ veya $x = -\sqrt{4}$
$x = 2$ veya $x = -2$
Şimdi $x^2-4 < 0$ eşitsizliğinin hangi aralıkta sağlandığını bulmalıyız. $x^2-4$ ifadesi, kökleri $-2$ ve $2$ olan yukarı doğru açılan bir paraboldür. Bu ifade, kökler arasında negatif değerler alır.
Yani eşitsizliğin çözümü:
$-2 < x < 2$
4. Adım: x Tam Sayı Değerlerini Bulma ve Sayma
Eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri $(-2, 2)$ aralığındadır. Bizden bu aralıktaki tam sayı değerleri isteniyor.
Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır:
$x = -1, 0, 1$
Bu tam sayı değerlerinin sayısı 3 tanedir.
Cevap B seçeneğidir.
