Kökleri verilen ikinci dereceden denklemi yazma Test 1

Kökleri 2 ve -1 olan ikinci dereceden denklem hangisidir?

A) x² - x - 2 = 0
B) x² + x - 2 = 0
C) x² - x + 2 = 0
D) x² + x + 2 = 0

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, kökleri bilinen bir ikinci dereceden denklemi nasıl oluşturacağımızı adım adım öğreneceğiz. İkinci dereceden denklemlerin kökleri ile katsayıları arasında çok güzel bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi kullanarak sorumuzu kolayca çözebiliriz.

Sorumuzda kökleri $2$ ve $-1$ olan ikinci dereceden denklemi bulmamız isteniyor.

Bu tür soruları çözmek için iki temel yöntem kullanabiliriz:

• Yöntem 1: Çarpanlara Ayırma Yöntemi
• Yöntem 2: Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı Yöntemi

Şimdi bu yöntemleri sırasıyla inceleyelim:

Yöntem 1: Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Bir ikinci dereceden denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, bu denklem $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ şeklinde yazılabilir. Bu, denklemin çarpanlara ayrılmış halidir.

• Adım 1: Kökleri Belirleyelim.

  Bize verilen kökler $x_1 = 2$ ve $x_2 = -1$'dir.

• Adım 2: Kökleri Denklemin Çarpan Formuna Yerleştirelim.

  Denklem $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ formunda olacağı için, kökleri yerine yazarsak:

  $(x - 2)(x - (-1)) = 0$

  Bu ifadeyi düzenleyelim:

  $(x - 2)(x + 1) = 0$

• Adım 3: Çarpanları Dağıtarak Denklemi Açalım.

  Şimdi $(x - 2)$ ile $(x + 1)$ ifadelerini çarpalım. Her terimi birbiriyle çarpmayı unutmayın (dağılma özelliği):

  • $x \cdot x = x^2$
  • $x \cdot 1 = x$
  • $-2 \cdot x = -2x$
  • $-2 \cdot 1 = -2$

  Bu terimleri bir araya getirirsek:

  $x^2 + x - 2x - 2 = 0$

• Adım 4: Benzer Terimleri Birleştirelim.

  $x$ terimlerini birleştirelim ($+x - 2x = -x$):

  $x^2 - x - 2 = 0$

Böylece denklemi bulmuş olduk!

Yöntem 2: Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı Yöntemi

Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde ise, kökler $x_1$ ve $x_2$ için aşağıdaki bağıntılar geçerlidir:

• Kökler toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Kökler çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Eğer denklemin baş katsayısı $a=1$ ise, denklem $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$ şeklinde yazılabilir.

• Adım 1: Kökleri Belirleyelim.

  Yine köklerimiz $x_1 = 2$ ve $x_2 = -1$'dir.

• Adım 2: Kökler Toplamını Hesaplayalım.

  $x_1 + x_2 = 2 + (-1) = 1$

• Adım 3: Kökler Çarpımını Hesaplayalım.

  $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$

• Adım 4: Bulduğumuz Değerleri Genel Denkleme Yerleştirelim.

  $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$ formülünde yerine yazarsak:

  $x^2 - (1)x + (-2) = 0$

  Bu ifadeyi düzenleyelim:

  $x^2 - x - 2 = 0$

Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.

Şimdi bulduğumuz denklemi seçeneklerle karşılaştıralım:

• A) $x^2 - x - 2 = 0$
• B) $x^2 + x - 2 = 0$
• C) $x^2 - x + 2 = 0$
• D) $x^2 + x + 2 = 0$

Bulduğumuz denklem $x^2 - x - 2 = 0$ olduğu için, doğru seçenek A'dır.

Cevap A seçeneğidir.