Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda $210^\circ$'lik açının trigonometrik oranlarının işaretlerini belirlememiz isteniyor. Trigonometrik oranların işaretleri, açının birim çember üzerinde hangi bölgede (kuadrantta) olduğuna göre değişir. Adım adım inceleyelim:
- Açının Bölgesini (Kuadrantını) Belirleme:
Öncelikle, $210^\circ$'lik açının birim çember üzerinde hangi bölgede yer aldığını bulmalıyız. Birim çemberdeki bölgeler şunlardır:
- 1. Bölge: $0^\circ < \theta < 90^\circ$
- 2. Bölge: $90^\circ < \theta < 180^\circ$
- 3. Bölge: $180^\circ < \theta < 270^\circ$
- 4. Bölge: $270^\circ < \theta < 360^\circ$
$210^\circ$ açısı, $180^\circ$ ile $270^\circ$ arasındadır. Bu nedenle, $210^\circ$ açısı 3. Bölge'de (Üçüncü Kuadrant'ta) yer alır.
- 3. Bölgedeki Trigonometrik Oranların İşaretleri:
Birim çemberde 3. Bölge'de bir noktanın koordinatları $(x, y)$ her ikisi de negatiftir. Yani $x < 0$ ve $y < 0$ olur. Buna göre:
- $\sin210^\circ$ (sinüs, $y$ koordinatı) negatiftir. Yani $\sin210^\circ < 0$.
- $\cos210^\circ$ (kosinüs, $x$ koordinatı) negatiftir. Yani $\cos210^\circ < 0$.
- $\tan210^\circ$ (tanjant, $y/x$ oranı) pozitiftir (çünkü negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü pozitiftir). Yani $\tan210^\circ > 0$.
- $\cot210^\circ$ (kotanjant, $x/y$ oranı) pozitiftir (çünkü negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü pozitiftir).
- Seçenekleri Değerlendirme:
- A) $\sin210^\circ$ pozitiftir: Yukarıdaki belirlememize göre $\sin210^\circ$ negatiftir. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- B) $\cos210^\circ$ negatiftir: Yukarıdaki belirlememize göre $\cos210^\circ$ negatiftir. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
- C) $\tan210^\circ$ pozitiftir: Yukarıdaki belirlememize göre $\tan210^\circ$ pozitiftir. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
- D) $\cot210^\circ$ pozitiftir: Yukarıdaki belirlememize göre $\cot210^\circ$ pozitiftir. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki değerlendirmelere göre B, C ve D seçenekleri matematiksel olarak doğru ifadelerdir. Ancak soruda tek bir doğru cevap beklendiği varsayımıyla ve verilen doğru cevap B olduğu için, B seçeneğini işaretliyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
