Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek 45-45-90 üçgeninin özelliklerini ve yükseklik hesaplamayı pekiştirelim.
- Adım 1: 45-45-90 Üçgeninin Özelliklerini Hatırlayalım
- Bir 45-45-90 üçgeni, ikizkenar dik üçgen olarak da bilinir. Bu üçgenin iki açısı $45^\circ$ ve bir açısı $90^\circ$'dir.
- Bu üçgende dik kenarlar (hipotenüse komşu olmayan kenarlar) birbirine eşittir. Eğer bir dik kenarın uzunluğu $a$ ise, diğer dik kenar da $a$ uzunluğundadır.
- Hipotenüsün uzunluğu ise dik kenarın $\sqrt{2}$ katıdır, yani $a\sqrt{2}$'dir.
- Adım 2: Verilen Bilgileri Kullanalım
- Soruda bir dik kenarın 8 cm olduğu belirtilmiştir. O halde, bu üçgenin her iki dik kenarı da 8 cm uzunluğundadır.
- Dik kenarlar: $a = 8$ cm.
- Adım 3: Hipotenüsün Uzunluğunu Bulalım
- 45-45-90 üçgeni kuralına göre hipotenüs, dik kenarın $\sqrt{2}$ katıdır.
- Hipotenüs = $a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm.
- Adım 4: Üçgenin Alanını İki Farklı Yolla Hesaplayalım
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır: Alan = $\frac{\text{dik kenar}_1 \times \text{dik kenar}_2}{2}$.
- Aynı zamanda, bir üçgenin alanı, herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: Alan = $\frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2}$.
- Bu iki formülü kullanarak hipotenüse ait yüksekliği bulabiliriz. Hipotenüse ait yüksekliğe $h$ diyelim.
- Adım 5: Yüksekliği Hesaplayalım
- Dik kenarlar cinsinden alan: Alan = $\frac{8 \times 8}{2} = \frac{64}{2} = 32$ cm$^2$.
- Hipotenüs ve yüksekliği cinsinden alan: Alan = $\frac{\text{hipotenüs} \times h}{2} = \frac{8\sqrt{2} \times h}{2}$.
- Bu iki alan ifadesini eşitleyelim:
- $32 = \frac{8\sqrt{2} \times h}{2}$
- Her iki tarafı 2 ile çarpalım: $64 = 8\sqrt{2} \times h$
- $h$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $8\sqrt{2}$'ye bölelim:
- $h = \frac{64}{8\sqrt{2}}$
- Sadeleştirelim: $h = \frac{8}{\sqrt{2}}$
- Paydayı rasyonel yapmak için kesri $\sqrt{2}$ ile çarpalım:
- $h = \frac{8 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2}$
- Son olarak sadeleştirelim: $h = 4\sqrt{2}$ cm.
Bu durumda, hipotenüse ait yükseklik $4\sqrt{2}$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
