Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, analitik geometri konusundan önemli bir soru çözeceğiz. Bir noktadan geçen ve belirli bir doğruya paralel olan doğrunun denklemini bulmayı öğreneceğiz. Bu tür sorular, doğruların özelliklerini anlamak için harika bir fırsattır.
- Adım 1: Paralel Doğruların Eğimini Anlamak
- İki doğru birbirine paralelse, eğimleri (yani "m" değerleri) birbirine eşittir. Bu, onların aynı "yokuş"a sahip olduğu anlamına gelir.
- Bize verilen doğru $y = 2x + 3$ şeklindedir. Bu denklem, eğim-kesim noktası formunda ($y = mx + b$) yazılmıştır. Burada $m$ eğimi, $b$ ise y eksenini kestiği noktayı gösterir.
- Verilen $y = 2x + 3$ doğrusunun eğimi $m = 2$'dir.
- Adım 2: Yeni Doğrunun Eğimini Belirlemek
- Aradığımız doğru, $y = 2x + 3$ doğrusuna paralel olduğuna göre, onun da eğimi aynı olmalıdır.
- Yani, aradığımız doğrunun eğimi de $m = 2$'dir.
- Adım 3: Nokta ve Eğim Kullanarak Doğru Denklemini Bulmak
- Şimdi elimizde bir nokta ($A(2,1)$) ve doğrunun eğimi ($m = 2$) var. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini bulmak için iki yöntem kullanabiliriz:
- Yöntem 1: Eğim-Nokta Formülü ($y - y_1 = m(x - x_1)$)
- Bu formülde, $(x_1, y_1)$ doğrunun geçtiği noktayı ve $m$ eğimi temsil eder.
- Verilen nokta $A(2,1)$ olduğu için $x_1 = 2$ ve $y_1 = 1$'dir. Eğimimiz ise $m = 2$'dir.
- Bu değerleri formülde yerine yazalım:
- $y - 1 = 2(x - 2)$
- Şimdi denklemi düzenleyelim:
- $y - 1 = 2x - 4$
- $-1$'i eşitliğin sağ tarafına atalım:
- $y = 2x - 4 + 1$
- $y = 2x - 3$
- Yöntem 2: Eğim-Kesim Noktası Formu ($y = mx + b$) Kullanarak
- Doğrumuzun eğimi $m = 2$ olduğu için denklemi $y = 2x + b$ şeklinde olmalıdır.
- Doğru $A(2,1)$ noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Yani $x = 2$ ve $y = 1$ değerlerini denklemde yerine yazabiliriz:
- $1 = 2(2) + b$
- $1 = 4 + b$
- $b$'yi bulmak için $4$'ü eşitliğin sol tarafına atalım:
- $1 - 4 = b$
- $b = -3$
- Şimdi $b$ değerini $y = 2x + b$ denkleminde yerine yazalım:
- $y = 2x - 3$
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık: Aradığımız doğrunun denklemi $y = 2x - 3$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
