Çokgenin köşegen sayısı formülü [n*(n-3)/2] Test 1

Bir çokgenin köşegen sayısı formülünde bölme işlemi neden yapılır?

A) Her köşegenin iki kez sayılmasını engellemek için
B) Kenar sayısını azaltmak için
C) Köşe sayısını artırmak için
D) Formülü basitleştirmek için

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir çokgenin köşegen sayısı formülünde bölme işleminin neden yapıldığını adım adım ve anlaşılır bir şekilde inceleyelim. Bu, geometride sıkça karşılaşılan ve mantığı kavrandığında çok kolay olan bir konudur.

• 1. Bir Köşeden Çizilebilecek Toplam Doğru Parçası Sayısı:

  Öncelikle, bir çokgenin $n$ tane köşesi olduğunu düşünelim. Herhangi bir köşeden (örneğin A köşesi), kendisi dışındaki diğer tüm $n-1$ köşeye birer doğru parçası çizebiliriz. Yani, A köşesinden $n-1$ tane doğru parçası çıkar.

• 2. Köşegen Olmayan Doğru Parçaları:

  Bu $n-1$ tane doğru parçasının hepsi köşegen değildir. A köşesinden çıkan doğru parçalarından ikisi, A'nın komşusu olan köşelere (örneğin B ve D köşeleri) giden kenarlardır. Bu kenarlar, çokgenin birer kenarıdır ve köşegen sayılmazlar.

• 3. Bir Köşeden Çizilebilecek Köşegen Sayısı:

  O halde, bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı, toplam doğru parçası sayısından (kendisi dışındaki $n-1$ köşe) kenarları çıkardığımızda bulunur. Yani, $n-1-2 = n-3$ tane köşegen çizilebilir.

• 4. Tüm Köşelerden Çizilen Köşegenlerin İlk Sayımı:

  Eğer bu işlemi çokgenin tüm $n$ köşesi için yaparsak, her köşeden $n-3$ tane köşegen çizildiğini buluruz. Bu durumda, toplam köşegen sayısı ilk bakışta $n \times (n-3)$ gibi görünebilir.

• 5. Neden İkiye Bölüyoruz? (Tekrar Sayma Problemi):

  İşte kritik nokta burası! $n \times (n-3)$ ifadesi bize doğru sonucu vermez, çünkü her köşegeni iki kez saymış oluruz. Nasıl mı?

  • Örneğin, bir dörtgen düşünelim (köşeleri A, B, C, D).
  • A köşesinden C köşesine bir köşegen çizdiğimizde, bu köşegeni "AC" olarak sayarız.
  • Daha sonra C köşesinden çizilebilecek köşegenleri sayarken, C'den A'ya olan aynı köşegeni "CA" olarak tekrar sayarız.
  • "AC" köşegeni ile "CA" köşegeni aynı köşegendir. Ancak bizim $n \times (n-3)$ hesabımızda bunlar iki ayrı sayım olarak yer alır.

  Her köşegen (örneğin AC), hem A köşesinden çizilirken hem de C köşesinden çizilirken sayıldığı için, aslında her köşegeni tam iki kez saymış oluruz.

• 6. Doğru Formül:

  Bu tekrar saymayı engellemek ve her köşegeni sadece bir kez saymak için, elde ettiğimiz $n(n-3)$ değerini 2'ye böleriz. Böylece bir çokgenin köşegen sayısı formülü $rac{n(n-3)}{2}$ olarak bulunur.

Bu açıklama, formüldeki bölme işleminin temel nedeninin, her köşegenin iki kez sayılmasını engellemek olduğunu açıkça göstermektedir.

Cevap A seçeneğidir.