Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek veya çift olması olayları ayrık mıdır?
A) Evet, ayrıktır çünkü aynı anda hem tek hem çift sayı gelmez
B) Hayır, ayrık değildir çünkü tek ve çift sayılar birlikte gelebilir
C) Evet, ayrıktır çünkü tek sayılar kümesi çift sayılar kümesini kapsar
D) Hayır, ayrık değildir çünkü zar atıldığında her iki olay da gerçekleşebilir
Bu soruda, olasılık konusunda önemli bir kavram olan "ayrık olaylar" (mutually exclusive events) üzerinde duracağız. Bir zar atma deneyi üzerinden bu kavramı adım adım inceleyelim.
- 1. Olası Durumları Belirleyelim: Bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek sayılar şunlardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bu, bizim örnek uzayımızdır.
- 2. Olayları Tanımlayalım:
Tek sayı gelmesi olayı (A): Üst yüze tek sayı gelmesi durumlarıdır. Bu sayılar {1, 3, 5}'tir.
Çift sayı gelmesi olayı (B): Üst yüze çift sayı gelmesi durumlarıdır. Bu sayılar {2, 4, 6}'dır.
- 3. Ayrık Olaylar Ne Demektir? İki olayın ayrık (veya karşılıklı dışlayıcı) olması demek, bu iki olayın aynı anda gerçekleşememesi demektir. Yani, bir olay gerçekleştiğinde diğerinin gerçekleşme ihtimali sıfırdır. Matematiksel olarak, iki olayın kesişim kümesi boş küme ise bu olaylar ayrıktır denir.
- 4. Olaylarımızın Kesişimini İnceleyelim: Tek sayılar kümesi {1, 3, 5} ve çift sayılar kümesi {2, 4, 6}'dır. Bu iki kümenin ortak elemanı var mı? Yani, bir sayı hem tek hem de çift olabilir mi? Hayır, olamaz. Matematiksel olarak, {1, 3, 5} $\cap$ {2, 4, 6} = $\emptyset$ (boş küme).
- 5. Sonuç: Bir zar attığınızda, gelen sayı ya tek olacaktır (örneğin 1, 3, 5) ya da çift olacaktır (örneğin 2, 4, 6). Aynı anda hem tek hem de çift bir sayı gelmesi mümkün değildir. Bu nedenle, tek sayı gelmesi olayı ile çift sayı gelmesi olayı birbirini dışlar, yani ayrıktır.
Bu açıklamalara göre, doğru seçeneği bulalım:
- A) Evet, ayrıktır çünkü aynı anda hem tek hem çift sayı gelmez. (Bu, bizim vardığımız sonuçla tamamen uyumludur.)
- B) Hayır, ayrık değildir çünkü tek ve çift sayılar birlikte gelebilir. (Yanlış, birlikte gelemezler.)
- C) Evet, ayrıktır çünkü tek sayılar kümesi çift sayılar kümesini kapsar. (Yanlış, kapsamazlar, aksine kesişimleri boştur.)
- D) Hayır, ayrık değildir çünkü zar atıldığında her iki olay da gerçekleşebilir. (Yanlış, aynı anda her iki olay gerçekleşemez.)
Cevap A seçeneğidir.
