Ters simetrik bir bağıntıda, farklı iki eleman için hem (a,b) hem de (b,a) ikilileri bulunabilir mi?
Bu soruyu çözmek için, ters simetrik (antisimetrik) bağıntı kavramını çok iyi anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir $R$ bağıntısı bir $A$ kümesi üzerinde ters simetrik ise, bu şu anlama gelir:
Eğer $(a,b) \in R$ ve $(b,a) \in R$ ise, o zaman mutlaka $a=b$ olmalıdır.
Yani, bir bağıntıda hem $(a,b)$ hem de $(b,a)$ ikilileri aynı anda bulunuyorsa, bu ikililerin elemanları ($a$ ve $b$) aslında aynı eleman olmak zorundadır.
Soru, "farklı iki eleman için" ifadesini kullanıyor. Bu, $a \neq b$ durumunu ele aldığımız anlamına gelir.
Şimdi, ters simetrik bağıntının tanımını ve sorudaki $a \neq b$ koşulunu birleştirelim:
Ters simetrik tanımına göre: Eğer $(a,b) \in R$ ve $(b,a) \in R$ ise, o zaman $a=b$ olmalıdır.
Sorudaki koşula göre: Biz $a \neq b$ olan durumları inceliyoruz.
Eğer $a \neq b$ ise, ters simetrik tanımının gerektirdiği $a=b$ koşulu sağlanamaz. Bu durumda, tanımın "eğer ... ise" kısmındaki her iki öncülün (yani $(a,b) \in R$ ve $(b,a) \in R$ olmasının) aynı anda doğru olması mümkün değildir.
Başka bir deyişle, eğer $a$ ve $b$ farklı elemanlarsa ($a \neq b$), ters simetrik bir bağıntıda hem $(a,b)$ hem de $(b,a)$ ikilileri aynı anda bulunamaz. Eğer $(a,b)$ bağıntıda ise, $(b,a)$ bağıntıda olamaz (çünkü olsaydı, tanım gereği $a=b$ olmak zorunda kalırdı ki bu da $a \neq b$ koşuluyla çelişirdi). Aynı şekilde, eğer $(b,a)$ bağıntıda ise, $(a,b)$ bağıntıda olamaz.
Bu analizden yola çıkarak, ters simetrik bir bağıntıda, farklı iki eleman ($a \neq b$) için hem $(a,b)$ hem de $(b,a)$ ikililerinin aynı anda bulunması asla mümkün değildir. Ters simetri özelliğinin temel amacı tam da budur: farklı elemanlar arasında karşılıklı bir ilişkinin (yani hem $(a,b)$ hem de $(b,a)$'nın) olmasını engellemektir.
Cevap B seçeneğidir.
