Bir bağıntının hem simetrik hem ters simetrik olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi doğru olmalıdır?
Bu soruyu çözmek için öncelikle simetrik ve ters simetrik (antisimetrik) bağıntı kavramlarını hatırlayalım, ardından bu iki koşulun aynı anda sağlanması durumunda ne olacağını inceleyelim.
Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir $R$ bağıntısı için, eğer $(a, b) \in R$ ise, o zaman $(b, a) \in R$ olmak zorundadır. Yani, eğer bir eleman diğerine belirli bir şekilde bağlıysa, diğeri de ilkine aynı şekilde bağlı olmalıdır. Örneğin, "eşittir" bağıntısı simetriktir: Eğer $a=b$ ise, $b=a$ da doğrudur.
Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir $R$ bağıntısı için, eğer $(a, b) \in R$ ve $(b, a) \in R$ ise, bu ancak $a = b$ olduğunda mümkündür. Yani, iki farklı eleman birbirine karşılıklı olarak bağlı olamaz. Eğer karşılıklı bir bağlılık varsa, bu elemanlar aslında aynı eleman olmak zorundadır. Örneğin, "küçüktür veya eşittir" ($\le$) bağıntısı ters simetriktir: Eğer $a \le b$ ve $b \le a$ ise, bu ancak $a=b$ olduğunda geçerlidir.
Şimdi bir bağıntının hem simetrik hem de ters simetrik olduğunu varsayalım. $R$ bağıntısında herhangi bir $(a, b)$ elemanı olsun:
1. Eğer $(a, b) \in R$ ise, simetriklik tanımına göre $(b, a)$ elemanı da $R$'de olmak zorundadır.
2. Şimdi elimizde hem $(a, b) \in R$ hem de $(b, a) \in R$ durumu var. Ters simetriklik tanımına göre, bu durum ancak $a = b$ olduğunda mümkündür.
Bu iki koşulun birleşimi bize şunu söyler: Eğer bir bağıntı hem simetrik hem de ters simetrik ise, bu bağıntıda yer alabilecek tek eleman türü, birinci ve ikinci bileşenleri aynı olan elemanlardır. Yani, $R$ sadece $(a, a)$ şeklindeki elemanları içerebilir. Bu elemanlara köşegen elemanları denir. Örneğin, $A = \{1, 2, 3\}$ kümesi üzerinde $R = \{(1, 1), (2, 2)\}$ bağıntısı hem simetrik hem de ters simetriktir.
Yukarıdaki çıkarımımız ışığında seçenekleri inceleyelim:
A) Bağıntı boş olmalıdır: Boş bağıntı ($\emptyset$) gerçekten de hem simetrik hem de ters simetriktir. Ancak bu, tek koşul değildir. Köşegen elemanları içeren bir bağıntı da bu özelliği taşır. Dolayısıyla "yalnızca boş olmalıdır" ifadesi doğru değildir.
B) Bağıntı yalnızca köşegen elemanları içermelidir: Yukarıdaki analizimizden de anlaşıldığı gibi, bir bağıntının hem simetrik hem de ters simetrik olabilmesi için, içerebileceği tek eleman türü $(a, a)$ şeklindeki köşegen elemanlarıdır. Bu ifade doğrudur.
C) Bağıntı en az iki eleman içermelidir: Bu yanlış bir ifadedir. Boş bağıntı (0 elemanlı) veya tek bir köşegen elemanı içeren bağıntı (örneğin $\{(1,1)\}$) da hem simetrik hem de ters simetriktir.
D) Bağıntı geçişli olmalıdır: Geçişlilik (transitivity) farklı bir bağıntı özelliğidir. Bir bağıntının hem simetrik hem de ters simetrik olması için geçişli olması şart değildir (ancak köşegen elemanlarından oluşan bir bağıntı genellikle geçişli olur). Bu, doğrudan bir gereklilik değildir.
Bu açıklamalar ışığında, bir bağıntının hem simetrik hem de ters simetrik olabilmesi için yalnızca köşegen elemanlarını içermesi gerektiği sonucuna varırız.
Cevap B seçeneğidir.
