R = {(1,2), (2,3), (1,3)} bağıntısı A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde tanımlıdır. Bu bağıntı ters simetrik midir?
A) Evet B) Hayır C) Kısmen D) Belirsiz
Bir bağıntının ters simetrik olup olmadığını anlamak için öncelikle ters simetrik bağıntı tanımını hatırlayalım.
Ters Simetrik Bağıntı Tanımı: Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir $R$ bağıntısı, her $a, b \in A$ için, eğer $(a, b) \in R$ ve $(b, a) \in R$ ise, bu durumda $a = b$ oluyorsa ters simetriktir. Başka bir deyişle, eğer $a \neq b$ ise, hem $(a, b) \in R$ hem de $(b, a) \in R$ aynı anda doğru olamaz.
Şimdi verilen $R = \{(1,2), (2,3), (1,3)\}$ bağıntısını ve $A = \{1, 2, 3\}$ kümesini inceleyelim.
Bağıntıdaki her bir eleman çifti için tersini kontrol etmemiz gerekiyor:
$(1,2) \in R$ elemanını ele alalım. Bu elemanın tersi olan $(2,1)$ bağıntı $R$ içinde var mı? Hayır, $(2,1) \notin R$.
$(2,3) \in R$ elemanını ele alalım. Bu elemanın tersi olan $(3,2)$ bağıntı $R$ içinde var mı? Hayır, $(3,2) \notin R$.
$(1,3) \in R$ elemanını ele alalım. Bu elemanın tersi olan $(3,1)$ bağıntı $R$ içinde var mı? Hayır, $(3,1) \notin R$.
Gördüğümüz gibi, $R$ bağıntısında $a \neq b$ koşulunu sağlayan hiçbir $(a, b)$ çifti için, $(b, a)$ çifti de $R$ içinde bulunmamaktadır.
Ters simetrik tanımına göre, "eğer $(a, b) \in R$ ve $(b, a) \in R$ ise, bu durumda $a = b$ olmalıdır."
Bizim durumumuzda, $R$ bağıntısı içinde $a \neq b$ iken hem $(a, b)$ hem de $(b, a)$ çiftlerinin aynı anda bulunduğu hiçbir durum yoktur. Yani, tanımın "eğer" kısmı (öncül) hiçbir zaman doğru olmamaktadır. Mantıkta, öncülü yanlış olan bir koşullu ifade (implication) her zaman doğru kabul edilir (vacuously true).
Bu nedenle, $R$ bağıntısı ters simetrik tanımını sağlamaktadır.
