Çevresi 36 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları tam sayıdır. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç santimetrekare olabilir?
A) 80Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.
Bir dikdörtgenin çevresi, uzun kenarı ($a$) ve kısa kenarı ($b$) olmak üzere $2 \times (a + b)$ formülüyle bulunur. Soruda çevrenin $36 \text{ cm}$ olduğu verilmiş.
$2 \times (a + b) = 36 \text{ cm}$
Çevre formülünden, uzun kenar ile kısa kenarın toplamını bulabiliriz. Denklemin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
$a + b = \frac{36}{2}$
$a + b = 18 \text{ cm}$
Bu, dikdörtgenin bir uzun kenarı ile bir kısa kenarının toplamının $18 \text{ cm}$ olduğu anlamına gelir.
Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ($a$) ile kısa kenarının ($b$) çarpımıyla bulunur: $Alan = a \times b$.
İki sayının toplamı sabit olduğunda (bizim durumumuzda $18$), bu sayıların çarpımının (yani alanın) en büyük değeri alması için sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Eğer sayılar eşit olursa, çarpım en büyük değerini alır.
Kenar uzunlukları tam sayı olduğu için, toplamları $18$ olan ve birbirine en yakın olan iki tam sayı $9$ ve $9$'dur.
Yani, $a = 9 \text{ cm}$ ve $b = 9 \text{ cm}$ olmalıdır. Bu durumda dikdörtgen aslında bir karedir.
Bulduğumuz kenar uzunluklarını kullanarak alanı hesaplayalım:
$Alan = a \times b = 9 \text{ cm} \times 9 \text{ cm}$
$Alan = 81 \text{ cm}^2$
Eğer kenarlar $9$ ve $9$ olmasaydı, örneğin $8$ ve $10$ olsaydı (toplamları yine $18$), alan $8 \times 10 = 80 \text{ cm}^2$ olurdu. Veya $7$ ve $11$ olsaydı, alan $7 \times 11 = 77 \text{ cm}^2$ olurdu. Gördüğümüz gibi, kenarlar birbirine yaklaştıkça alan büyüyor ve eşit olduklarında en büyük değerini alıyor.
Bu durumda, dikdörtgenin alanı en fazla $81 \text{ cm}^2$ olabilir.
Cevap B seçeneğidir.
