M kuralı, çokgenlerin iç açılarının toplamını hesaplamak için hangi formülü kullanır?
Sevgili öğrenciler, bu soru çokgenlerin iç açılarının toplamını bulmak için kullanılan temel bir formülü anlamamızı istiyor. Şimdi adım adım bu formülün nereden geldiğini ve neden doğru olduğunu inceleyelim.
Çokgen, en az üç doğru parçasının birleşmesiyle oluşan kapalı bir şekildir. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi şekiller birer çokgendir. Bir çokgenin iç açıları ise, çokgenin kenarları arasında kalan açılardır.
Bir çokgenin iç açılarının toplamını bulmanın en kolay yollarından biri, çokgeni üçgenlere ayırmaktır. Bir üçgenin iç açılarının toplamının her zaman $180^\circ$ olduğunu biliyoruz. Eğer bir çokgeni belirli sayıda üçgene ayırabilirsek, bu üçgenlerin iç açılarının toplamı bize çokgenin iç açılarının toplamını verecektir.
Bir çokgenin köşe sayısına (veya kenar sayısına) $n$ diyelim:
Üçgen ($n=3$): Bir üçgen zaten kendisi bir üçgendir. Yani $1$ tane üçgen vardır. Formülümüz $(3-2) \times 180 = 1 \times 180 = 180^\circ$ sonucunu verir.
Dörtgen ($n=4$): Bir dörtgeni (örneğin bir kare veya dikdörtgeni) bir köşesinden karşı köşesine bir çizgi çekerek $2$ tane üçgene ayırabiliriz. Formülümüz $(4-2) \times 180 = 2 \times 180 = 360^\circ$ sonucunu verir. (Bir karenin iç açıları toplamı $90^\circ \times 4 = 360^\circ$ olduğunu hatırlayın.)
Beşgen ($n=5$): Bir beşgeni bir köşesinden diğer köşelere çizgiler çekerek $3$ tane üçgene ayırabiliriz. Formülümüz $(5-2) \times 180 = 3 \times 180 = 540^\circ$ sonucunu verir.
Gördüğümüz gibi, bir çokgeni bir köşesinden diğer köşelere çizilen köşegenlerle ayırdığımızda, oluşan üçgen sayısı her zaman çokgenin köşe sayısının $2$ eksiği kadardır. Yani $n-2$ tane üçgen oluşur.
Madem $n$ kenarlı bir çokgeni $n-2$ tane üçgene ayırabiliyoruz ve her bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$, o zaman $n$ kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı $(n-2) \times 180^\circ$ olacaktır.
A) $(n-2) \times 180$: Bu, yukarıda açıkladığımız ve çokgenlerin iç açıları toplamını veren doğru formüldür.
B) $n \times 90$: Bu formül sadece bazı özel dörtgenler (kare, dikdörtgen) için $360^\circ$ sonucunu verse de, genel bir çokgen için doğru değildir. Örneğin, bir üçgen için $3 \times 90 = 270^\circ$ olurdu ki bu yanlıştır.
C) $(n+2) \times 180$: Bu formül, gerçek değerden çok daha büyük sonuçlar verir ve matematiksel bir temeli yoktur. Örneğin, bir üçgen için $(3+2) \times 180 = 5 \times 180 = 900^\circ$ olurdu ki bu yanlıştır.
D) $n \times 360$: Bu formül, dışbükey çokgenlerin dış açılarının toplamını verir (ki bu her zaman $360^\circ$'dir), iç açılarının toplamını değil. Ayrıca, $n$ ile çarpılması da yanlıştır.
Bu nedenle, çokgenlerin iç açılarının toplamını hesaplamak için kullanılan formül $(n-2) \times 180$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
