5 farklı mektup, 3 farklı posta kutusuna her kutuya en az bir mektup atılmak şartıyla kaç farklı şekilde atılabilir?
Bu problem, farklı nesnelerin (mektuplar) farklı kutulara (posta kutuları) belirli bir koşul altında (her kutuya en az bir mektup) dağıtılması problemidir. Bu tür problemleri çözmek için genellikle Kapsama-Dışlama Prensibi'ni kullanırız.
Öncelikle, hiçbir kısıtlama olmasaydı 5 farklı mektubu 3 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atabileceğimizi hesaplayalım. Her mektup için 3 farklı posta kutusu seçeneği vardır. Mektuplar birbirinden farklı olduğu için, her mektubun seçimi bağımsızdır.
Toplam dağıtım sayısı = $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5$
$3^5 = 243$ farklı şekilde dağıtım yapılabilir.
Şimdi, "her kutuya en az bir mektup atılmak" koşulunu ihlal eden durumları, yani en az bir posta kutusunun boş kaldığı durumları bulmamız gerekiyor. Bunu Kapsama-Dışlama Prensibi ile yapacağız.
2.1. Tam olarak bir posta kutusunun boş kalması:
Önce hangi posta kutusunun boş kalacağını seçeriz. 3 posta kutusundan 1 tanesini $\binom{3}{1}$ farklı şekilde seçebiliriz.
Seçilen posta kutusu boş kaldıktan sonra, geriye kalan 2 posta kutusuna 5 mektubu dağıtmamız gerekir. Her mektup için bu 2 kutudan birini seçebiliriz. Bu da $2^5$ farklı şekilde yapılabilir.
Bu durumların sayısı = $\binom{3}{1} \times 2^5 = 3 \times 32 = 96$
2.2. Tam olarak iki posta kutusunun boş kalması:
Önce hangi iki posta kutusunun boş kalacağını seçeriz. 3 posta kutusundan 2 tanesini $\binom{3}{2}$ farklı şekilde seçebiliriz.
Seçilen iki posta kutusu boş kaldıktan sonra, geriye kalan 1 posta kutusuna 5 mektubu dağıtmamız gerekir. Her mektup için bu 1 kutuyu seçmek zorundayız. Bu da $1^5$ farklı şekilde yapılabilir.
Bu durumların sayısı = $\binom{3}{2} \times 1^5 = 3 \times 1 = 3$
2.3. Tam olarak üç posta kutusunun boş kalması:
Önce hangi üç posta kutusunun boş kalacağını seçeriz. 3 posta kutusundan 3 tanesini $\binom{3}{3}$ farklı şekilde seçebiliriz.
Tüm posta kutuları boş kaldığına göre, 5 mektubu dağıtabileceğimiz hiçbir posta kutusu kalmaz. Bu durum imkansızdır.
Bu durumların sayısı = $\binom{3}{3} \times 0^5 = 1 \times 0 = 0$
Kapsama-Dışlama Prensibi'ne göre, her kutuya en az bir mektup atılma koşulunu sağlayan durumların sayısı şu formülle bulunur:
İstenen Durum Sayısı = (Toplam Durum Sayısı) - (En az 1 kutunun boş olduğu durumlar) + (En az 2 kutunun boş olduğu durumlar) - (En az 3 kutunun boş olduğu durumlar)
İstenen Durum Sayısı = $243 - 96 + 3 - 0$
İstenen Durum Sayısı = $147 + 3 = 150$
Bu nedenle, 5 farklı mektup, 3 farklı posta kutusuna her kutuya en az bir mektup atılmak şartıyla 150 farklı şekilde atılabilir.
Cevap A seçeneğidir.
