Bir vektör 10 birim doğuya, diğeri 10 birim kuzeye yönelmiştir. Bu iki vektör uç uca eklendiğinde, bileşke vektörün yönü hangi açıyla doğudan sapar?
A) 30°Bu soruda, iki vektörün bileşkesinin yönünü bulacağız. Vektörler, hem büyüklükleri hem de yönleri olan fiziksel niceliklerdir. İki vektörü uç uca eklediğimizde, başlangıç noktasından bitiş noktasına çizilen vektör, bileşke vektörü verir. Şimdi adım adım çözümleyelim:
Birinci vektör (Doğu yönlü): Büyüklüğü $10$ birimdir ve yatay eksende (doğu yönünde) yer alır. Bu vektörü $\vec{A}$ olarak adlandıralım. İkinci vektör (Kuzey yönlü): Büyüklüğü $10$ birimdir ve dikey eksende (kuzey yönünde) yer alır. Bu vektörü $\vec{B}$ olarak adlandıralım.
$\vec{A}$ vektörünün başlangıç noktasını koordinat sisteminin orijinine ($0,0$) yerleştirelim. Bu durumda $\vec{A}$ vektörünün bitiş noktası $(10,0)$ olacaktır. Şimdi $\vec{B}$ vektörünün başlangıç noktasını, $\vec{A}$ vektörünün bitiş noktasına, yani $(10,0)$ noktasına yerleştirelim. $\vec{B}$ kuzey yönünde olduğu için, bu noktadan $10$ birim yukarı doğru ilerleyeceğiz. Böylece $\vec{B}$ vektörünün bitiş noktası $(10,10)$ olacaktır.
Bileşke vektör ($\vec{R}$), ilk vektörün ($\vec{A}$) başlangıç noktasından (orijin) son vektörün ($\vec{B}$) bitiş noktasına (yani $(10,10)$ noktasına) çizilen vektördür. Bu durumda, bileşke vektörün başlangıcı $(0,0)$, bitişi ise $(10,10)$ noktasıdır.
Doğu yönlü vektör, Kuzey yönlü vektör ve bileşke vektör bir dik üçgen oluşturur. Doğu yönlü vektör (büyüklüğü $10$) bu dik üçgenin bir dik kenarıdır. Kuzey yönlü vektör (büyüklüğü $10$) bu dik üçgenin diğer dik kenarıdır. Bileşke vektör ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Bizden istenen, bileşke vektörün doğu yönüyle yaptığı açıdır. Bu açıyı $\theta$ ile gösterelim. Dik üçgende, bir açının tanjantı (tan), karşı dik kenarın komşu dik kenara oranına eşittir. Burada, $\theta$ açısının karşısındaki kenar kuzey yönlü vektörün büyüklüğü ($10$), komşu kenarı ise doğu yönlü vektörün büyüklüğü ($10$) olacaktır. O halde, $\tan(\theta) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{10 \text{ birim (Kuzey)}}{\text{10 birim (Doğu)}} = 1$. Hangi açının tanjantı $1$'dir? Bu açı $45^\circ$'dir. Yani, $\theta = \arctan(1) = 45^\circ$.
Bu durumda, bileşke vektörün yönü doğudan $45^\circ$ sapar.
Cevap B seçeneğidir.
