Trigonometri grafik Test 1

f(x) = -sin(x) fonksiyonunun grafiği, sin(x) grafiğine göre nasıl elde edilir?

A) x-eksenine göre yansıtılarak.
B) y-eksenine göre yansıtılarak.
C) π birim sağa kaydırılarak.
D) π birim yukarı kaydırılarak.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir trigonometrik fonksiyonun grafiğinin nasıl dönüştürüldüğünü anlamamız gerekiyor. $y = \sin(x)$ grafiğinden $y = -\sin(x)$ grafiğine geçişi adım adım inceleyelim.

• 1. Fonksiyonları Tanımlayalım:

  Elimizde iki fonksiyon var:

  • Orijinal fonksiyon: $g(x) = \sin(x)$
  • Elde etmek istediğimiz fonksiyon: $f(x) = -\sin(x)$
• 2. Grafik Dönüşümlerini Hatırlayalım:

  Bir $y = g(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerinde yapılan temel dönüşümlerden biri şudur:

  • Eğer fonksiyonun önüne bir eksi işareti gelirse, yani $y = -g(x)$ olursa, bu, orijinal grafiğin x-eksenine göre yansıtılması anlamına gelir. Bu dönüşümde, orijinal grafikteki her $(x, y)$ noktası, yeni grafikte $(x, -y)$ noktasına dönüşür. Yani, $y$ değerlerinin işareti değişir.
• 3. Fonksiyonumuzu İnceleyelim:

  Bizim durumumuzda, $g(x) = \sin(x)$ iken, elde etmek istediğimiz fonksiyon $f(x) = -\sin(x)$'tir. Bu ifade, $f(x) = -g(x)$ formundadır. Yani, $\sin(x)$ fonksiyonunun her bir $y$ değeri eksi ile çarpılmıştır.

• 4. Sonucu Belirleyelim:

  Bu durumda, $\sin(x)$ grafiğindeki her bir noktanın $y$ koordinatının işareti değişir. Örneğin:

  • $\sin(0) = 0$ iken, $-\sin(0) = 0$. (x-ekseni üzerindeki noktalar değişmez)
  • $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ iken, $-\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
  • $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ iken, $-\sin(\frac{3\pi}{2}) = 1$.

  Bu değişim, grafiğin x-eksenine göre yansıtılması ile gerçekleşir. Grafiğin pozitif $y$ değerleri negatif $y$ değerlerine, negatif $y$ değerleri ise pozitif $y$ değerlerine dönüşür.

• 5. Diğer Seçenekleri Değerlendirelim (Neden Doğru Değiller):
  • B) y-eksenine göre yansıtılarak: Bu, $y = \sin(-x)$ anlamına gelir. Sinüs fonksiyonu tek bir fonksiyon olduğu için $\sin(-x) = -\sin(x)$'tir. Yani bu dönüşüm de aynı grafiği verir. Ancak, $f(x) = -\sin(x)$ ifadesinin *doğrudan* anlamı, fonksiyonun çıktısının işaretinin değişmesidir, bu da x-eksenine göre yansımadır. Genel bir $g(x)$ fonksiyonu için $g(-x)$ ile $-g(x)$ aynı değildir. Soru, verilen formdaki dönüşümü sorar.
  • C) $\pi$ birim sağa kaydırılarak: Bu, $y = \sin(x-\pi)$ anlamına gelir. Trigonometrik özdeşliklerden $\sin(x-\pi) = -\sin(x)$ olduğunu biliyoruz. Bu da aynı grafiği verir. Ancak, yine bu sinüs fonksiyonuna özgü bir durumdur ve $f(x) = -\sin(x)$ ifadesinin *doğrudan* bir kaydırma dönüşümü olarak yorumlanması değildir.
  • D) $\pi$ birim yukarı kaydırılarak: Bu, $y = \sin(x) + \pi$ anlamına gelir ve bu fonksiyonun grafiği $y = -\sin(x)$ grafiğinden tamamen farklıdır.

  Sonuç olarak, $f(x) = -\sin(x)$ ifadesi, $y = g(x)$ formundaki bir fonksiyonun $y = -g(x)$ formuna dönüştürülmesinin en temel ve genel yolu olan x-eksenine göre yansıtma ile elde edilir.

Cevap A seçeneğidir.