Aşağıdaki dönüşümlerden hangisi $y = tan(x)$ grafiğini etkilemez?
A) Y ekseni boyunca ölçekleme
B) X ekseni boyunca ötelenme (yatay kaydırma)
C) Y ekseni boyunca ötelenme (dikey kaydırma)
D) X ekseni boyunca ölçekleme
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $y = tan(x)$ grafiğini hangi dönüşümün "etkilemediğini" bulmamız isteniyor. Bir dönüşümün bir grafiği etkilememesi demek, o dönüşüm uygulandığında grafiğin temel özelliklerinin veya yapısının değişmemesi anlamına gelir. $y = tan(x)$ fonksiyonunun temel özelliklerini hatırlayalım:
- Dikey Asimptotlar: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (burada $k$ bir tam sayıdır). Bu asimptotlar, tanjant fonksiyonunun tanımlı olmadığı ve grafiğin sonsuza yaklaştığı dikey çizgilerdir.
- Periyot: $\pi$. Yani grafik her $\pi$ birimde bir kendini tekrar eder.
- Tanım Kümesi: Dikey asimptotlar dışındaki tüm reel sayılar.
- Görüntü Kümesi: $(-\infty, \infty)$ (tüm reel sayılar).
- Şekil: Her asimptot çifti arasında tekrarlayan, orijinden geçen (veya $k\pi$ noktalarından geçen) "S" benzeri bir şekle sahiptir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Y ekseni boyunca ölçekleme ($y = a \cdot tan(x)$):
- Bu dönüşüm, grafiği dikey olarak gerer veya sıkıştırır. Örneğin, $y = 2 \cdot tan(x)$ grafiği, $y = tan(x)$ grafiğine göre daha dik olacaktır. Bu, grafiğin "şeklini" ve eğimini değiştirir. Dolayısıyla, bu dönüşüm grafiği etkiler.
- B) X ekseni boyunca ötelenme (yatay kaydırma) ($y = tan(x - c)$):
- Bu dönüşüm, grafiği sağa veya sola kaydırır. Örneğin, $y = tan(x - \frac{\pi}{4})$ grafiğinin dikey asimptotları ve $x$-kesen noktaları $y = tan(x)$ grafiğine göre değişir. Bu, grafiğin yatay konumunu ve dolayısıyla asimptotların yerini değiştirir. Dolayısıyla, bu dönüşüm grafiği etkiler (ancak $c$ değeri periyodun tam katı olursa grafik aynı kalır, fakat genel bir ötelenme grafiği değiştirir).
- C) Y ekseni boyunca ötelenme (dikey kaydırma) ($y = tan(x) + d$):
- Bu dönüşüm, grafiği yukarı veya aşağı kaydırır. Örneğin, $y = tan(x) + 1$ grafiği, $y = tan(x)$ grafiğinin 1 birim yukarı kaydırılmış halidir.
- Bu dönüşüm, grafiğin dikey asimptotlarının yerini değiştirmez. Asimptotlar hala $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ noktalarındadır.
- Grafiğin periyodunu değiştirmez. Periyot hala $\pi$'dir.
- Grafiğin görüntü kümesini değiştirmez; hala $(-\infty, \infty)$'dur.
- Grafiğin her bir dalının temel "S" şeklini değiştirmez, sadece dikey konumunu değiştirir.
Bu özellikler göz önüne alındığında, dikey ötelenme grafiğin en temel yapısal özelliklerini (asimptotlar, periyot, genel şekil) korur. Bu nedenle, diğer dönüşümlere kıyasla grafiği "en az etkileyen" veya belirli bir açıdan "etkilemeyen" dönüşüm olarak kabul edilebilir.
- D) X ekseni boyunca ölçekleme ($y = tan(bx)$):
- Bu dönüşüm, grafiği yatay olarak gerer veya sıkıştırır. Örneğin, $y = tan(2x)$ grafiğinin periyodu $\frac{\pi}{2}$ olur ve dikey asimptotlarının yerleri değişir. Bu, grafiğin periyodunu ve asimptotların yerini kökten değiştirir. Dolayısıyla, bu dönüşüm grafiği etkiler.
Özetle, Y ekseni boyunca ötelenme (dikey kaydırma), $y = tan(x)$ grafiğinin dikey asimptotlarının konumunu, periyodunu ve temel şeklini değiştirmeyen tek dönüşümdür. Diğer tüm dönüşümler bu temel özelliklerden en az birini değiştirir.
Cevap C seçeneğidir.
