$P(x) = (m-2)x^4 + (n+1)x^3 + 5x - 3$ polinomunun derecesi 3 olduğuna göre, $m$ ve $n$ değerleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) $m=2, n \neq -1$Sevgili öğrenciler, bir polinomun derecesi, o polinomdaki en yüksek dereceli terimin kuvvetidir. Ancak bu terimin katsayısının sıfır olmaması gerekir. Şimdi sorumuzdaki $P(x)$ polinomunu inceleyelim ve derecesinin 3 olması koşulunu adım adım uygulayalım.
Verilen polinom $P(x) = (m-2)x^4 + (n+1)x^3 + 5x - 3$ şeklindedir.
Polinomun derecesinin 3 olması demek, $x^3$ teriminin katsayısının sıfırdan farklı olması ve $x^3$'ten daha yüksek dereceli terimlerin (bu durumda $x^4$ terimi) katsayılarının sıfır olması demektir.
Öncelikle, polinomdaki en yüksek dereceli terim $x^4$ terimidir. Eğer bu terimin katsayısı sıfırdan farklı olsaydı, polinomun derecesi 4 olurdu. Ancak soruda derecenin 3 olduğu belirtiliyor. Bu durumda $x^4$ teriminin katsayısı sıfır olmalıdır.
$x^4$ teriminin katsayısı $(m-2)$'dir. Bu katsayıyı sıfıra eşitleyelim:
$m-2 = 0$
Bu denklemden $m = 2$ sonucunu buluruz.
Şimdi, polinomun derecesinin 3 olabilmesi için $x^3$ teriminin katsayısının sıfırdan farklı olması gerekir. Eğer $x^3$ teriminin katsayısı da sıfır olsaydı, polinomun derecesi 1 (çünkü $5x$ terimi var) veya daha düşük olurdu.
$x^3$ teriminin katsayısı $(n+1)$'dir. Bu katsayı sıfırdan farklı olmalıdır:
$n+1 \neq 0$
Bu eşitsizlikten $n \neq -1$ sonucunu buluruz.
Sonuç olarak, polinomun derecesinin 3 olması için $m=2$ ve $n \neq -1$ koşullarının aynı anda sağlanması gerekmektedir.
Şimdi seçeneklere bakalım:
A) $m=2, n \neq -1$
B) $m \neq 2, n = -1$
C) $m=2, n = -1$
D) $m \neq 2, n \neq -1$
E) $m=0, n=0$
Bulduğumuz $m=2$ ve $n \neq -1$ değerleri A seçeneği ile tamamen uyuşmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
