Kosinüs teoremi formülü Test 1

Bir $ABC$ üçgeninde $a = 5$, $b = 7$ ve $\angle C = 60^\circ$ ise, $c$ kenarının uzunluğu kaçtır?

A) 3
B) $\sqrt{39}$
C) $\sqrt{40}$
D) 8

Bu problemde, bir üçgenin iki kenarının uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verilmiş. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.

• Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım: Bir $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A$, $B$, $C$ olmak üzere, Kosinüs Teoremi şu şekilde ifade edilir: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ Bu teorem, iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmamızı sağlar.
• Verilen Değerleri Belirleyelim: Soruda bize verilenler şunlardır:
  • $a = 5$ birim
  • $b = 7$ birim
  • $\angle C = 60^\circ$
  Bizden istenen ise $c$ kenarının uzunluğudur.
• Değerleri Kosinüs Teoremi'nde Yerine Koyalım: Şimdi, verilen değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim: $c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ$
• Hesaplamaları Yapalım: Öncelikle $\cos 60^\circ$ değerini bilmemiz gerekiyor. $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$'dir. Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım ve işlemleri adım adım yapalım: $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 35 \cdot \frac{1}{2}$ $c^2 = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2}$ $c^2 = 74 - 35$ $c^2 = 39$
• $c$ Kenarının Uzunluğunu Bulalım: $c^2 = 39$ olduğuna göre, $c$ kenarının uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız: $c = \sqrt{39}$
• Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım: Bulduğumuz $c = \sqrt{39}$ değeri, seçeneklerdeki B seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.