🎓 7. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı senaryo 6 Test 2 - Ders Notu
Merhaba sevgili 7. sınıf öğrencileri! Bu ders notu, 1. dönem 2. yazılınızda karşılaşabileceğiniz rasyonel sayılar, cebirsel ifadeler ve denklemler gibi ana konuları hızlıca tekrar etmenize yardımcı olacak. Konuları sade ve anlaşılır bir dille özetledim ki sınava tam hazır olasınız!
📌 Rasyonel Sayılar Nedir?
Rasyonel sayılar, "a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır." Yani kesir olarak ifade edebildiğimiz tüm sayılar rasyonel sayıdır. Tam sayılar, doğal sayılar ve ondalık sayılar da aslında birer rasyonel sayıdır.
- Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. (Örn: $5 = \frac{5}{1}$)
- Her ondalık sayı bir rasyonel sayıdır. (Örn: $0.7 = \frac{7}{10}$)
- Devirli ondalık sayılar da rasyonel sayıdır. (Örn: $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$)
- Sayı doğrusunda iki tam sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunur.
💡 İpucu: Paydası sıfır olan bir kesir tanımsızdır. Bu yüzden rasyonel sayının tanımında paydanın sıfırdan farklı olması şartı vardır. Unutma, bölme işleminde sıfıra bölme yapılamaz!
📌 Rasyonel Sayılarla İşlemler
Rasyonel sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yaparken dikkat etmemiz gereken bazı kurallar var.
📝 Toplama ve Çıkarma
Rasyonel sayıları toplarken veya çıkarırken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, önce eşitlemeliyiz.
- Paydalar eşitse: Paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır. Örn: $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5}$
- Paydalar farklıysa: Paydalar ortak bir sayıda eşitlenir (genellikle EKOK'ları bulunur), sonra paylar toplanır veya çıkarılır. Örn: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
⚠️ Dikkat: Tam sayılı kesirleri işlem yapmadan önce bileşik kesre çevirmen işini kolaylaştırır.
📝 Çarpma
Rasyonel sayıları çarparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
- Paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Örn: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$
- Çarpma işleminden önce sadeleştirme yapmak, işlemi daha kolay hale getirir.
📝 Bölme
Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken, ilk kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
- Birinci rasyonel sayı aynen yazılır.
- İkinci rasyonel sayı ters çevrilir (pay ile paydanın yeri değiştirilir).
- Ters çevrilen ikinci sayı ile birinci sayı çarpılır. Örn: $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
💡 İpucu: Bir rasyonel sayının $0$'a bölümü tanımsızdır. $0$'ın sıfırdan farklı bir rasyonel sayıya bölümü ise $0$'dır.
📌 Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama
Rasyonel sayıları karşılaştırırken veya sıralarken farklı yöntemler kullanabiliriz.
- Paydaları eşitleme: Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Negatiflerde tam tersi.
- Payları eşitleme: Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür. Negatiflerde tam tersi.
- Ondalık gösterime çevirme: Sayıları ondalık gösterime çevirerek karşılaştırmak bazen daha kolay olabilir.
- Sayı doğrusu: Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür.
⚠️ Dikkat: Negatif rasyonel sayıları sıralarken pozitif gibi düşünüp sırala, sonra sıralamayı ters çevir. Örneğin, $-\frac{1}{2}$ ve $-\frac{1}{3}$ arasında $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ iken, $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$ olur.
📌 Cebirsel İfadeler
İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifade denir. Örneğin, bir sayının 3 fazlasını "x + 3" şeklinde yazmak bir cebirsel ifadedir.
- Değişken (Bilinmeyen): Harflerle gösterilen ve değeri değişebilen niceliklerdir (x, y, a, b...).
- Terim: Bir cebirsel ifadede artı (+) veya eksi (-) işaretleriyle ayrılmış her bir parçadır. Örn: $3x + 5y - 7$ ifadesinde terimler $3x$, $5y$ ve $-7$'dir.
- Katsayı: Değişkenin önündeki çarpım durumundaki sayıdır. Örn: $3x + 5y - 7$ ifadesinde katsayılar $3$, $5$ ve $-7$'dir.
- Sabit Terim: Değişkeni olmayan terimdir. Örn: $3x + 5y - 7$ ifadesinde sabit terim $-7$'dir.
- Benzer Terim: Değişkenleri ve değişkenlerin kuvvetleri aynı olan terimlerdir. Örn: $3x$ ile $5x$ benzer terimlerdir, ama $3x$ ile $3x^2$ benzer terim değildir.
💡 İpucu: Bir değişkenin önünde katsayı yazmıyorsa, katsayısı $1$'dir. Örn: $y$ teriminin katsayısı $1$'dir.
📌 Cebirsel İfadelerde İşlemler
Cebirsel ifadeleri toplarken veya çıkarırken sadece benzer terimler arasında işlem yapabiliriz.
- Toplama ve Çıkarma: Benzer terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır, değişken kısmı aynen yazılır. Örn: $(5x + 3) + (2x - 1) = (5x + 2x) + (3 - 1) = 7x + 2$
- Bir Doğal Sayı ile Çarpma: Doğal sayı, cebirsel ifadenin her bir terimiyle çarpılır (dağılma özelliği). Örn: $3(2x + 5) = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 6x + 15$
⚠️ Dikkat: Benzer olmayan terimler toplanamaz veya çıkarılamaz. Örneğin, $3x + 5y$ ifadesi daha fazla sadeleştirilemez.
📌 Bir Bilinmeyenli Denklemler
İçinde bir tane bilinmeyen (değişken) bulunan ve eşitlik içeren ifadelere bir bilinmeyenli denklem denir. Amacımız, bilinmeyenin değerini bulmaktır.
- Denklemin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.
- Denklemin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitlik bozulmaz.
- Bilinmeyenleri denklemin bir tarafına, sayıları diğer tarafına toplarız. (İşaretler yer değiştirirken değişir: + ise -, - ise +, çarpım ise bölüm, bölüm ise çarpım olur.)
- Örn: $2x + 5 = 11$ ise, $2x = 11 - 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 3$
💡 İpucu: İşlemleri yaparken önce toplama/çıkarma, sonra çarpma/bölme işlemlerini karşı tarafa atarak bilinmeyeni yalnız bırakmaya çalışın.
📌 Denklem Kurma ve Problem Çözme
Günlük hayattaki problemleri denklemlerle çözmek, mantıklı ve sistematik bir yaklaşımdır.
- Problemi Anla: Ne verildi, ne isteniyor, dikkatlice oku.
- Bilinmeyeni Belirle: Genellikle istenen şeye bir değişken (x, y gibi) ata.
- Denklemi Kur: Problemin cümlesini matematiksel bir eşitliğe dönüştür. (Örn: "Bir sayının 3 katının 5 fazlası 20'dir" cümlesi $\rightarrow 3x + 5 = 20$)
- Denklemi Çöz: Kurduğun denklemi yukarıdaki adımları uygulayarak çöz.
- Çözümü Kontrol Et: Bulduğun değeri başlangıçtaki problemde yerine koyarak sonucun doğru olup olmadığını kontrol et.
⚠️ Dikkat: Problemde "yarısı", "çeyreği", "katı", "fazlası", "eksiği" gibi ifadelerin matematiksel karşılıklarını doğru kullanmaya özen göster.
Başarılar dilerim sevgili öğrenciler! Bu notları dikkatlice okuyup anladığınızda sınavda çok iyi sonuçlar alacağınıza eminim. Unutmayın, düzenli tekrar ve bol soru çözümü başarının anahtarıdır! 🚀
