7. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı senaryo 6 Test 3

🎓 7. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı senaryo 6 Test 3 - Ders Notu

Merhaba sevgili öğrenciler! 👋 Bu ders notu, 7. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı senaryo 6 Test 3'te karşılaşabileceğiniz temel konuları kapsıyor. Tam sayılarla işlemlerden rasyonel sayılara, cebirsel ifadelerden denklemlere kadar tüm önemli noktaları basitçe hatırlayacağız.

📌 Tam Sayılarla İşlemler

Tam sayılar, pozitif, negatif ve sıfır olmak üzere üç gruba ayrılır. Bu bölümde tam sayılarla dört işlem yapmayı ve üslü sayıları öğreneceğiz.

Toplama ve Çıkarma

• Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken, sayılar toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır. Örnek: $(-3) + (-5) = -8$.
• Farklı işaretli iki tam sayı toplanırken, mutlak değeri büyük olan sayıdan mutlak değeri küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır. Örnek: $(-7) + (+4) = -3$.
• Çıkarma işleminde, çıkan sayının işareti değiştirilerek toplama işlemine dönüştürülür. Örnek: $(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8$.

💡 İpucu: Çıkarma işlemi aslında "ters işaretlisini toplama" demektir. İki eksi yan yana gelirse artıya dönüşür!

Çarpma ve Bölme

• Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir. Örnek: $(-4) \times (-2) = +8$ veya $(-10) \div (-2) = +5$.
• Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı veya bölümü negatiftir. Örnek: $(-6) \times (+3) = -18$ veya $(+12) \div (-4) = -3$.

⚠️ Dikkat: İşlem önceliğini unutma! Parantez içi, üslü sayılar, çarpma/bölme, toplama/çıkarma sırasına göre işlem yapmalısın.

Üslü Sayılar

• Bir tam sayının kuvveti alınırken, taban (altındaki sayı) kuvvet (üstündeki sayı) kadar yan yana çarpılır. Örnek: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
• Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$, $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$.
• $0^0$ tanımsızdır. Her sayının $0$. kuvveti $1$'dir (sıfır hariç). Örnek: $5^0 = 1$.

💡 İpucu: Üslü sayılarda paranteze dikkat! $-2^2 = -(2 \times 2) = -4$ iken, $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$.

📌 Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Kesirler, ondalık sayılar ve tam sayılar da birer rasyonel sayıdır.

Rasyonel Sayıları Tanıma ve Sayı Doğrusunda Gösterme

• Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Örnek: $5 = \frac{5}{1}$.
• Her ondalık sayı bir rasyonel sayıdır. Örnek: $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
• Sayı doğrusunda iki tam sayı arasını payda kadar eşit parçaya bölerek rasyonel sayıları gösterebiliriz.

💡 İpucu: Devirli ondalık sayılar da rasyonel sayıdır. Örnek: $0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Rasyonel Sayılarla İşlemler

Toplama ve Çıkarma

• Paydalar eşitse, paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynen yazılır. Örnek: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
• Paydalar farklıysa, önce paydalar eşitlenir (genişletme veya sadeleştirme ile), sonra işlem yapılır. Örnek: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.

Çarpma

• Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Varsa sadeleştirme yapılabilir. Örnek: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$.

Bölme

• Birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilip çarpılır. Örnek: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

⚠️ Dikkat: Rasyonel sayılarla işlemlerde de işlem önceliği kuralları geçerlidir.

📌 Cebirsel İfadeler

İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifade denir. Örneğin, bir sayının 3 fazlası $x+3$ şeklinde yazılabilir.

Temel Kavramlar

• Değişken (Bilinmeyen): Genellikle $x, y, a, b$ gibi harflerle gösterilen, değeri bilinmeyen nicelik.
• Terim: Bir cebirsel ifadede artı (+) veya eksi (-) işaretleriyle ayrılmış her bir parçadır. Örnek: $3x + 5y - 7$ ifadesinde terimler $3x$, $5y$ ve $-7$'dir.
• Katsayı: Bir terimdeki değişkenin çarpıldığı sayı. Örnek: $3x$'teki katsayı $3$'tür.
• Sabit Terim: Değişken içermeyen terim. Örnek: $3x + 5y - 7$ ifadesinde sabit terim $-7$'dir.
• Benzer Terim: Değişkenleri ve bu değişkenlerin kuvvetleri aynı olan terimler. Örnek: $3x$ ile $5x$ benzer terimlerdir.

Cebirsel İfadelerle İşlemler

Toplama ve Çıkarma

• Sadece benzer terimler toplanabilir veya çıkarılabilir. Katsayıları üzerinde işlem yapılır, değişken kısmı aynen kalır. Örnek: $(3x + 2) + (5x - 4) = (3x + 5x) + (2 - 4) = 8x - 2$.

Bir Doğal Sayı ile Çarpma (Dağılma Özelliği)

• Bir doğal sayı, parantez içindeki her terimle ayrı ayrı çarpılır. Örnek: $3 \times (2x + 5) = (3 \times 2x) + (3 \times 5) = 6x + 15$.

💡 İpucu: Günlük hayatta cebirsel ifadeler, bilinmeyen bir miktarı temsil etmek için kullanılır. Mesela, "bir kalem ve 2 TL" ifadesini $x+2$ olarak düşünebiliriz.

📌 Bir Bilinmeyenli Denklemler

İki cebirsel ifadenin eşitliğini gösteren matematiksel ifadelere denklem denir. Amacımız, bilinmeyenin (genellikle $x$) değerini bulmaktır.

Denklem Çözme Adımları

• Eşitliğin her iki tarafında da varsa benzer terimleri topla/çıkar.
• Bilinmeyenleri (x'li terimleri) eşitliğin bir tarafına, sabit terimleri diğer tarafına topla. (İşaret değiştirerek geçerler.)
• Bilinmeyenin katsayısını her iki tarafa bölerek bilinmeyeni yalnız bırak.

Örnek: $2x + 5 = 11$

• $2x = 11 - 5$ ( $+5$ karşıya $-5$ olarak geçti)
• $2x = 6$
• $x = \frac{6}{2}$ ( $2$ karşıya bölme olarak geçti)
• $x = 3$

⚠️ Dikkat: Eşitliğin bir tarafına yapılan işlem, diğer tarafına da aynı şekilde yapılmalıdır ki eşitlik bozulmasın.

Denklem Kurma ve Problem Çözme

• Verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştür. (Örn: "Bir sayının 3 katının 5 fazlası 20'dir" $\rightarrow$ $3x + 5 = 20$)
• Kurduğun denklemi yukarıdaki adımları uygulayarak çöz.
• Bulduğun sonucun problemi sağlayıp sağlamadığını kontrol et.

💡 İpucu: Problemleri okurken anahtar kelimelere dikkat et. "Katı" çarpma, "fazlası" toplama, "eksiği" çıkarma, "yarısı" bölme anlamına gelir.