Bu soruyu çözerken üslü sayılarla ilgili temel kuralları kullanacağız. Amacımız, verilen $2^{x+1} = a$ bilgisini kullanarak $8^{x-1}$ ifadesini $a$ cinsinden ifade etmek.
- Adım 1: $8^{x-1}$ ifadesini 2'nin kuvveti şeklinde yazalım. Çünkü bize $2^{x+1}$ ifadesi verilmiş. $8 = 2^3$ olduğundan, $8^{x-1} = (2^3)^{x-1}$ olur.
- Adım 2: Üssün üssü kuralını uygulayalım. $(2^3)^{x-1} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3}$ olur.
- Adım 3: Şimdi $2^{3x-3}$ ifadesini $2^{x+1}$'e benzetmeye çalışalım. $2^{3x-3}$ ifadesini $2^{3x+3-6}$ şeklinde yazabiliriz. Bu da $2^{3(x+1)-6}$'ya eşittir.
- Adım 4: Üslü sayıların çarpımı şeklinde yazalım: $2^{3(x+1)-6} = 2^{3(x+1)} \cdot 2^{-6}$ olur.
- Adım 5: $2^{3(x+1)}$ ifadesini $(2^{x+1})^3$ şeklinde yazabiliriz. Yani, $2^{3(x+1)} = (2^{x+1})^3$ olur.
- Adım 6: $2^{x+1} = a$ bilgisini yerine koyalım. $(2^{x+1})^3 = a^3$ olur.
- Adım 7: Şimdi de $2^{-6}$'yı hesaplayalım. $2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$ olur.
- Adım 8: Tüm bulduklarımızı bir araya getirelim: $8^{x-1} = 2^{3x-3} = 2^{3(x+1)} \cdot 2^{-6} = a^3 \cdot \frac{1}{64} = \frac{a^3}{64}$ olur.
Sonuç olarak, $8^{x-1}$ ifadesinin $a$ cinsinden eşiti $\frac{a^3}{64}$'tür.
Cevap D seçeneğidir.
