Hava sürtünmesinin önemsiz olduğu bir ortamda, $h$ yüksekliğinden serbest bırakılan bir cisim $t$ sürede yere düşüyor. Aynı cisim $4h$ yüksekliğinden serbest bırakılırsa yere düşme süresi kaç $t$ olur?
A) $t/2$
B) $t$
C) $2t$
D) $4t$
E) $8t$
Sevgili öğrenciler, bu problem serbest düşme hareketini anlamamızı gerektiriyor. Hava sürtünmesinin önemsiz olduğu bir ortamda, bir cismin serbest düşme hareketinde aldığı yol (yükseklik) ile yere düşme süresi arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.
- Serbest düşme hareketinde, cismin $h$ yüksekliğinden yere düşme süresi $t$ ise, bu değerler arasındaki ilişki aşağıdaki formülle ifade edilir:
- $h = \frac{1}{2}gt^2$
- Bu formülde $h$ cismin düştüğü yüksekliği, $g$ yer çekimi ivmesini (sabit bir değerdir) ve $t$ yere düşme süresini temsil eder.
Şimdi soruda verilen bilgileri bu formül üzerinde adım adım uygulayalım:
- 1. Durum: Cisim $h$ yüksekliğinden serbest bırakılıyor ve $t$ sürede yere düşüyor.
- Bu durumu formülümüzde yerine yazarsak, ilk denklemimiz şu şekilde olur:
- $h = \frac{1}{2}gt^2$ (Denklem 1)
- 2. Durum: Aynı cisim $4h$ yüksekliğinden serbest bırakılırsa yere düşme süresi kaç $t$ olur?
- Bu yeni düşme süresine $t'$ diyelim. Yeni yüksekliği ($4h$) ve yeni süreyi ($t'$) formülümüzde yerine yazarsak, ikinci denklemimiz şu şekilde olur:
- $4h = \frac{1}{2}g(t')^2$ (Denklem 2)
- Denklemleri Birleştirme ve Çözüm:
- Şimdi elimizdeki iki denklemi kullanarak $t'$ süresini $t$ cinsinden bulalım. Denklem 1'deki $h$ ifadesini Denklem 2'deki $h$ yerine yazabiliriz:
- $4 \left( \frac{1}{2}gt^2 \right) = \frac{1}{2}g(t')^2$
- Denklemin her iki tarafındaki $\frac{1}{2}g$ ifadelerini sadeleştirebiliriz, çünkü bunlar sıfırdan farklı sabitlerdir:
- $4t^2 = (t')^2$
- Şimdi $t'$ süresini bulmak için denklemin her iki tarafının karekökünü alalım:
- $\sqrt{4t^2} = \sqrt{(t')^2}$
- $2t = t'$
- Bu sonuç bize, cisim $4h$ yüksekliğinden serbest bırakıldığında yere düşme süresinin, $h$ yüksekliğinden düşme süresinin 2 katı olduğunu gösterir.
Bu durumda, cisim $4h$ yüksekliğinden serbest bırakıldığında yere düşme süresi $2t$ olur.
Cevap C seçeneğidir.
