Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda, $h$ yüksekliğinden yatay $v_0$ hızıyla atılan bir cisim, atıldığı noktanın yatayda $x$ kadar uzağına düşüyor. Eğer cisim $2h$ yüksekliğinden $2v_0$ hızıyla atılsaydı, yatayda kaç $x$ uzağa düşerdi?
A) $\sqrt{2}x$
B) $2x$
C) $2\sqrt{2}x$
D) $4x$
E) $4\sqrt{2}x$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, yatay atış hareketini ve bu hareketin temel prensiplerini kullanarak bir cismin menzilini nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz. Hava sürtünmesinin ihmal edildiği durumlarda, yatay ve düşey hareketler birbirinden bağımsız olarak incelenebilir. Haydi adım adım çözümümüze geçelim:
-
1. Adım: Yatay Atış Hareketinin Temellerini Anlayalım.
Yatay atış hareketinde, cismin yatay hızı (hava sürtünmesi yoksa) sabittir. Düşeyde ise cisim serbest düşme hareketi yapar, yani yer çekimi ivmesi ($g$) etkisiyle hızlanır. Bu iki hareketin birleşimi cismin yörüngesini oluşturur.
- Yatay Hareket: Cismin yatayda aldığı yol ($x$), yatay hızı ($v_x$) ile havada kalma süresinin ($t$) çarpımına eşittir: $x = v_x \cdot t$.
- Düşey Hareket: Cismin düşeyde aldığı yol (yükseklik $h$), ilk düşey hızı sıfır olduğu için $\frac{1}{2}gt^2$ formülüyle bulunur: $h = \frac{1}{2}gt^2$. Bu formülden cismin havada kalma süresini ($t$) bulabiliriz.
-
2. Adım: İlk Durumu Analiz Edelim.
Cisim $h$ yüksekliğinden $v_0$ hızıyla atılıyor ve yatayda $x$ kadar uzağa düşüyor.
- Havada Kalma Süresi ($t_1$): Düşey hareket denkleminden $h = \frac{1}{2}gt_1^2$ yazabiliriz. Buradan $t_1^2 = \frac{2h}{g}$ ve dolayısıyla $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ olur.
- Yatay Menzil ($x$): Yatay hareket denkleminden $x = v_0 \cdot t_1$ yazabiliriz. $t_1$ değerini yerine koyarsak, $x = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$ ifadesini elde ederiz. Bu ifadeyi aklımızda tutalım (Denklem 1).
-
3. Adım: İkinci Durumu Analiz Edelim.
Şimdi cisim $2h$ yüksekliğinden $2v_0$ hızıyla atılsaydı ne olacağını bulalım. Yeni yatay menzile $x'$ diyelim.
- Yeni Havada Kalma Süresi ($t_2$): Düşey hareket denkleminden $2h = \frac{1}{2}gt_2^2$ yazabiliriz. Buradan $t_2^2 = \frac{4h}{g}$ ve dolayısıyla $t_2 = \sqrt{\frac{4h}{g}}$ olur. Bu ifadeyi biraz düzenleyebiliriz: $t_2 = \sqrt{2 \cdot \frac{2h}{g}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
- Yeni Yatay Menzil ($x'$): Yatay hareket denkleminden $x' = (2v_0) \cdot t_2$ yazabiliriz. $t_2$ değerini yerine koyarsak, $x' = (2v_0) \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} \right)$ ifadesini elde ederiz.
-
4. Adım: İki Durumu Birbiriyle İlişkilendirelim.
Şimdi $x'$ ifadesini düzenleyelim ve Denklem 1'deki $x$ ifadesiyle karşılaştıralım:
- $x' = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot v_0 \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}$
- Denklem 1'den biliyoruz ki $x = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
- Bu durumda, $x'$ ifadesindeki $v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$ yerine $x$ yazabiliriz.
- Yani, $x' = 2\sqrt{2} \cdot x$ olur.
Bu sonuç bize, yeni durumda cismin yatayda $2\sqrt{2}$ kat daha uzağa düşeceğini gösterir.
Cevap C seçeneğidir.
